南京工业大学《大学物理》热学复习

热 学 复 习

基本概念 理想气体、热力学系统、微观状态、宏观状态、平衡态 、 过程、准静态过程、可逆过程 压强、体积、温度、分子数密度、内能、功（体积功）、热量、 热容量（定压、定容摩尔热容量，比热容比）、比热热机效率 熵（玻耳兹曼熵、克劳修斯熵变公式）、热力学概率 分子质量、分子运动速度、方均根速率、平均速率、自由度、速率分布函数、最概然速率、平均自由程 普适气体常数、玻耳兹曼常数 物理量

定理和定律 热力学第一定律 热力学第二定律（熵增加原理） 能量均分定理、麦克斯韦速率分布律 过 程 等容过程、等压过程、等温过程、 绝热过程（准静态绝热过程、绝热自由膨胀） 循环过程（热机循环、制冷循环）、卡诺循环 模 型 理想气体（方程）

热 学 测 验 题

一、填空题

1. 一定量的理想气体在温度为 Ta 、Tb 时分子的最可几速率分别为vpa及 vpb。设 Ta >Tb ， 则vpa vpb ， f(vpa) f(vpb)。 （填 < 或 > 或 =）

f(v) f (vp1) f (vp2) f (vp3)

T 1 T2 v  2kT 2RT p m vpa > vpb ， f (vpa) < f (vpb) T3

0

vp1 vp2 vp3

v

2. 下列循环中，

图是可能的循环。

p 绝热 (B) 是可能的。

p 绝热 等温 O V

(A)

p 绝热 绝热 O

V ( C)

等温 V （B） p 等温 绝热 绝热 O

V (D)

O

4. 判断下列过程中E、T、W、Q的正负。 解： 考虑 c 过程，绝热。Qc= 0

由热一律 绝热

b

T < 0. Ec < 0, Wa > 0

Ea= Ec < 0,

Wc > 0

P c V

Ec+ Wc =0 考虑a 过程，

T < 0.

a O

由热一律 Qa= Ea+ Wa = Ec + Wa= Wc + Wa < 0. a 过程，放热

考虑 b 过程，

Wb > 0 Eb= Ec < 0, 由热一律

T < 0.

Qb= Eb+ Wb = Ec + Wb= Wc + Wb > 0.

b 过程，吸热

5. 一定量的理想气体分别经历如图（1）所示的abc过程和图 （2）所示的def过程,则这两种过程的净吸热和净放热的情况是： abc过程净 热，def过程净 热。

p a b p 等温线 c e d 绝热线

图（1） V

f V 图 （2）

解： 对于a、c 两点 E = 0 对于abc过程， W  由热一律 Qabc= E+ W > 0

abc过程中净吸热。

（2）与4题 a 过程一样，净放热。

6. 图示为一理想气体几种状态变化过程的 P — V 图，其中MT为等温线，MQ为绝热线，在AM、BM、CM 三种准静态过程中： (1)温度降低的是 过程； (2)气体吸热的是 过程． 解：（1） A点的温度高于T点的温度，

AM过程温度降低。

（2）CM 过程。

将CMQC 视为一个循环， MQ为绝热线，而QC放热，故CM 为吸热过程。

P M O AT B Q C V 8. 理想气体的压强为P、 密度为  ，则 vrms=

。

 v2

3RT

解： v rms PV  M

RT

vrms 

3P



RT PV   M  P  P

M /V 



10. 大气中一绝热气缸内装有一定量的气体。用电炉徐徐加热，活塞无摩擦地缓缓上升。此过程中，以下物理量如何变化？ (1) 气体压强 ； (2) 气体分子平均动能 ；(3) 气体的内能 。

答：

(1)气体压强 不变 . (2)气体分子平均动能 增大 . (3)气体的内能 增大 .

11. 将2kg，100℃的铅块投入10 ℃ 的湖水中，铅与湖水组成的系统的熵变为 。（已知铅的比热为0.128×103J/kg·K）

解： SPb 

dQ 

T ( R )1

2

T2

T 1

cmdT T

 cm

Pb

T2ln T1

 2  0.128  103  ln 10  273 ＝ －70.7 J/K

100 273

铅放出的热量为

Q = cmT = 20.128 (100 –10) 103 = 23.04 103 J

Q 23.04  10

 SW ＝ 81.4 J/K

3

T W

273  10

su= sW+ sPb= 81.4 －70.7 =10.7 J/K

二 计算题

、

1. 绝热容器中间有一无摩擦、绝热的可移动的活塞。活塞的两侧各有 mol的理想气体， 。初态状态参量为 P0, V0  T0, 现将一线圈通入左侧气体，对气体缓缓加热。左侧气体右移， 使右侧压强增加为 27P0/8, 求： (1) 左侧气体作了多少功？ (2) 右侧气体的终温是多少？ B A (3) 左侧气体的终温是多少？ (4) 左侧气体吸收了多少热量？ 解:（1）右侧为绝热过程

P0V 0 P1V 1 P0V 0 (1 P1V 1

W 右   )

P0V 0   1   1

P1=27 P0/8

对于绝热过程

PV  P V 1 1

0 0

V1 

 P  1

4  V 9

0

经过计算得到



W 右   P0V 0 W 左 P0V 0

0  V0 P 1 

左侧气体的功

（2） 右侧气体的终温是多少？

P1V1 T  3

T T

P0V0

1 1

T0

2

0

（3） 左侧气体的终温是多少？

PA (2V0  VB ) PV

00

P T

A

= P B

= P

1

A T0

T A  PA (2P V V0  V1 ) T 21 0  T0 0 0

4

（4） 左侧气体吸收的热量是多少？ Q= E+ W

C R R V,m   1  1.5  1 = 2R E = C    2R  ( 21

T 17

 T ) RT

V,m 4 0 0

2 0Q = E+ W  17

RT  P V

2

0 0 0

左P0V 0

W 2. 一绝热容器，体积为10-3m3, 以100 m/s 的速度做匀速直线运动，容器中装有 100g的氢气。当容器突然停止运动时，氢气的温度、压强各增加多大？

解： 容器停止运动，机械能转化为气体无规则运动的动能。

1 2i R mv kTk  NA 2 2

mv2 v2 2  103  1002

T   0.481K

5  8.31 ik iR

由状态方程

PV  RT

P RT

V

3

100  10  8.31 0.481 M RT RT V

  P 

 V 2  103  103

P 2  10 Pa

4

3. 1mol 氦气的循环过程如图。ab,cd为绝热过程, bc,da 过程为等容过程。求（1）a,b,c,d 各态的温度；（2）循环效率。 解：（1） PV  RT



PaVa Ta 

R

11.013 105  32.8 103

8.31

53

3.18  1.013 10  16.4  10 PV

＝636K Tb  bb 

R 8.31

Tc＝800K Td＝504K

＝400K

（2）循环效率

bc 吸热， da 放热 Q吸 = CV,m(c–b ) | Q放 |= CV,m(d –a )

P/atm c4.00 3.18 b 1.26 1.00 16.4 a 32.8 d V/L

Q吸 =  CV,m(c–b ) | Q放 |=  CV,m(d –a )

P/atm c4.00 3.18 b 1.26 1.00 16.4 T b V b

  1

Td T  1   1 aQ吸 Tc  TbT c V c

  1

Q放

a 32.8   1

dV/L

 Td V d

  1

 1

T a V a

( Tc  Tb)V c



 ( Td  Ta )V d

 1

 

 c V   1   Vd 

 1

= 37.1%

4. 如图所示为 1mol 单原子理想气体经历的循环过程，ab为等温线，V1 , V2已知。求循环效率。

P 解：分析吸、放热。 aab 等温过程，Ta= Tb

Q =W >0 , 吸热Q1 c b ca 等容过程，

压强增大，温度升高，吸热Q2 O VV2 V 1

bc 等压过程，

体积减小，温度降低，放热Q3

VV 2 2  dV ln ln  RT  RT Q1  W   PdV ab

V V1 V1 V

Tc

Q =  C  T = C (T T )  C T (1  )

V,m a 2 V,m V,m a c

T a

Q  C T (1 Tc )  C T (1 V1 )

V,m b 2 V,m b

T V 2 b

1

V2

RT

| Q | =  C

 T = C

(T T )  C T (1 

Tc )

3 P,m

P,m

b

c

P,m b

T b

QCV1

3 P,mTb (1  )

V2

C T (1  V1

)   1 3 Q  1 2 P,m b V Q1  Q2

RT ln V2  C T (1  V1

) 5R b (1  V1

) V V,m b 1 V 2  1 2 V2 R ln VP2a 3R VV (1  1 1 2 V)

2 5(1  Vb 1

) 

c  1 V V 2 ln VV2 21 2

 3(1  V1 )

V1 V2

V其 典

它型题1. 2g氢气与2g氦气分别装在两个容积相同的封闭容器 内，温度也相同。(氢气视为刚性双原子分子)。

求：(1)氢分子与氦分子的平均平动动能之比；(2)氢气与氦气压强之比；(3)氢气与氦气内能之比。

3 解：(1)   kT t

2 2 (2) p  nt

3

 /   1

tH2

tHe

iiH 2  H 2  5  2  10

(3) E  vRT EH / E He i 23 3 2

He He

nH2 / nHe  V  H2 : He  2

V 2g 2g : 2 H2 / He 

2g / mol 4g / mol

pH2 / pHe  2

2. A、B、C 三个容器中皆装有理想气体，它们的分子数密度之比为nA∶nB∶nC＝ 4∶2∶1，而分子的平均平动动能之比为

A∶ B∶ C ＝1 。答案： 1:1:1

2∶4，则它们的压强之比 pApBpC ＝

∶∶∶

3. 用总分子数 N、气体分子速率 v和速率分布函数 f (v) 表示下列各量：

(1) 速率大于v 0的分子数＝ ； (2) 速率大于v 0的那些分子的平均速率＝ ； (3) 多次观察某一分子的速率，发现其速率大于v 0的概率＝

。

答案： (1)

 v

Nf (v) d v

0

(2)

v v f (v) d v

0



(3)

v

f (v) d v

f (v) d v

0

v



0

4. N个粒子,其速率分布函数为   f v a v0 v (0  v  v0 ) (v0  v  2v0 ) f v   a (1) 作速率分布曲线并求常数a； f v   0 (2v0  v  ) (2) 分别求速率大于v0 和小于 v0的粒子数； (3) 求粒子的平均速率。 解：(1) 速率分布曲线如右图所示： 由归一化条件： f v dv  1

0

f(v) a 

f vdv f vdv 1 0 f vdv v 2v v000 v0 2v0

v a 2v 2 2a v0 0 0 adv0 1 a  a2v    1 3v vdvv v 2 000 v v0 0

0 0

v0

2v0



另法：由图可有面积 S

1S  av  av 100 00

100 2

a 

3v0

2

(2) 大于 v0 的粒子数：

f(v) 2v0

N1  N 

2 1

小于 v0 的粒子数: N  N  N

3 3

f v dv  N adv v0 v0

2 v02 N    N  Nav0 

3 v0 3



2v0

b 0 v0

2v0 v (3) 平均速率：v 

0

v f v dv

v 

0

v0

v f v dv 

v

2v0

0



v f v dv  0

 

v0

0

2v0

av 11 v dv v  a dv v0

v0 v0 9

5. 理想气体经历如图所示过程，其中bd为绝热过程，分析各个过程热容量的符号。 解： T2 > T1 P d 等温线 T2 bd过程：绝热压缩

由热一律 Ebd+ Wbd =0

c Ebd = – Wbd C bd = 0

b a 等温线 T1 V

ad过程由热一律 Qad= Ead+ Wad = Ebd + Wad=  Wbd + Wad

Wbd 和 Wad均为负值。 |Wbd |< | Wad |。Qad <0 T > 0

同理： C cd > 0

C ad < 0

6. 如图，总体积为40L的绝热容器，中间用一隔热板隔 开，隔板重量忽略，可以无摩擦的自由升降。A、B两 部 分 各 装 有 1mol 的 氮 气 ， 它 们 最 初 的 压 强 是1.013103Pa，隔板停在中间，现在使微小电流通过B中的电阻而缓缓加热，直到A部分气体体积缩小到一半为 止，求在这一过程中：(1)B中气体的过程方程，以其体 积和温度的关系表示；(2)两部分气体各自的最后温度； (3)B中气体吸收的热量？

5 1.4 2解：pV C p V1.013100.024.210 （1）

A A A1 A1

A p p, V=V-V0.04V A BAB B活塞上升过程中，

2B 中气体的过程方程为：p (0.04V )4.210 B

B B

RTB

p  B

VB

T (0.04V )51V

B

B

B

i VA1

VpV T (  1 A1A1 (A1  1  322K （2） T ))3） A2 A1

VA2 R VA2

T51VB2

B2  (0.04V 965K

B2 )

Q  E  A i

R T  T VB2 B B B p dV 2

B2 B1  V B1 B B 

i 2 R  pB 1VB 1 T VB 2 4.2  102 B 2 R V(0.04  VdVB 1 BB 2 )

 1.66  104

J

（

7. 1mol双原子分子理想气体作如图的可逆循环过程，其中1—2 为直线， 2—3 为绝热线， 3—1 为等温线。已T2  2T1 ，V3  8V1。试求：(1)各过程的功，内能增量知

和传递的热量(用T1 和已知常数表示)；(2)此循环的效率 。

解： (1) 1—2任意过程 p

ΔE1  CV (T2  T1 )

p2 2

5 1  CV (2T1  T1 ) RT1 p1 1 2 O A  ( p V  p V )

V1 V2 1 2 2 1 1

2 1 1 1  RT2  RT1 RT1 2 2 5 2 1

Q1ΔE1  A1  RT1 RT1  3RT1

2 2

3 V3 V

2—3绝热膨胀过程

ΔE2  CV (T3  T2 )

5

 CV (T1  T2 )   RT1

2 5

A  E  RT

2 1 2

2

Q2  0

p2 p1

p 1 2 3 V 1 V 2

V 3 V

O 3—1等温压缩过程 ΔE3  0

A3  RT1 ln(V3 /V1 )   RT1 ln(8V1 /V1 ) 2.08RT1 Q3 A3 2.08RT1

RT1 /(3RT1 ) 30.7% (2)   1 Q3 / Q1  1 2.08

8.如图所示，在绝热刚性容器中有一可无摩擦移动且不漏气的 极薄导热隔板，将容器分为A、B两部分。A、B中分别有 1mol的氦气和1 mol的氮气，它们可被视为刚性分子理想气体。 已知初态氦气和氮气的温度分别为 TA=300K 、TB=400K，压强均为1atm。忽略导热板的质量并不计其体 积的变化，求： (1) 整个系统达到平衡时两种气体的温度。 (2) 整个系统达到平衡时两种气体的压强。 A B (3) 氮气末态与初态的熵差。 He N2 解：(1) 将氦气和氮气作为一个系统，

因为容器是绝热刚性的，所以系统进行的过程与外界没有热交换，系统对外不作功。由热力学第一定律可知，系统的总内能始终不变，即

C V,mA T  TA   C V,mB T  TB   0

CV,mA T  TA   CV,mB T TB   0

C V ,m A T A  C V ,m B TB

C V ,mA C V ,mB

R T  R TB A 362 .5 K 2 2 3 5 R  R 2 2 3

5

T 

（2）设A、B两部分初态的体积为VA、 VB，末态的体积为

V'A、 V'B ，则有

V A  V B  V A V B

RT A  RT B RT

2

p p A p B

2T

p  pA  1.04 atm

TA  TB

(3) 由理想气体的克劳修斯熵变公式

pB 7 362.5 1

ΔS  C ln  Rln  8.31ln  8.31ln  3.19J K pB 400T p 2 1.04 B

T

9. 1 kg 0 oC 的冰与恒温热库（t = 20 oC ）接触， 求 冰全部溶化成水的熵变？(熔解热=334J/g)

思路：

➢ 为不等温热传导过程，不可逆。 ➢ 设想冰与 0 C 恒温热源接触可逆地吸热

解：冰等温融化成水的熵变：

dQ Q mλ 10 334 3

  1.2210 J/K ΔS溶化   

T T 273.15 t 273.15

3



另求：此不等温热传导过程的总熵变

t = 20 oC 的恒温热库发生的熵变：

Q 3 dQ     m 10 334  

S热库

T

总

T 273.15 t

热库

293.15



1.14 10 J / K

3

总熵变

S ＝S ＋ S

溶化

 80J / K

符合热二律。

10 .一热力学系统由2mol单原子与2mol双原子(无振动) 理想气体混合而成。该系统经过一如图所示的abcda可逆循环过程, 其中 ab, cd为等压过程, bc, da为绝热过程, 且Ta=300K, Tb=900K, Tc=450K, Td =150K, Va=3m³。求: 1) 混合气体的定容和定压摩尔热容; 2)ab, cd过程系统与外界交换的热量; 3)循环的效率; 4)循环的系统熵变。

P

解:1)设1mol定容摩尔热容C1V,mol a b 的气体与2mol定容摩尔热容C2V,mol 的另一种气体混合,则在等容中气体温度升高dT后吸热为 d c dQ dQ1  dQ2 1C1V ,moldT  2C2V ,moldT Vo 由定义得(1+ 2)mol混合气体的定容摩尔热容为

1C1V ,mol  2C2V ,mol dQ  CV,mol 

(1  2 )dT 1  2

同理可得(1+ 2)mol混合气体的定压摩尔热容为

1C1P ,mol  2C2 P ,mol dQ  CP ,mol 

(1  2 )dT 1  2

5 R P 3R  2 2   CV ,mol 2 2  2R a 

2  2 7 R 5 R  2 2   CP ,mol 2 2  3R 

d 2  2

2) ab为等压吸热过程, 吸收的热量为 o b c V

Qab  (1  2 )CP ,mol (Tb  Ta )

 4  3  8.31 (900 300) 5.98  104 (J)

cd为等压放热过程, 放出的热量为

Qcd  4  3  8.31 (150  450)  2.99 10 (J)

4

3) 循环吸收的热量为Q1=Qab

循环放出的热量为Q2=∣Qcd ∣

4

2.99 10 Q2   1  1  50% 4

Q1 5.98 10

b

P

a b d c V

o 4) ab过程系统的熵变:

b dQ T (1  )C2 P ,moldT Sa 

T Ta aT b

Tb

21ln  1.1010 (J  K )  (1  2 )CP,mol

Ta

cd过程系统的熵变:  Scd  1.10  102 (J  K1 )

bc,da为可逆绝热过程,系统的熵变: ΔSbc=0, ΔSda=0 循环过程的系统熵变:

Sabcd Sab  Sbc  Scd  Sda  0

a