2018-2019学年江苏省苏州市常熟市七年级(下)期中数学试卷

2018-2019 学年江苏省苏州市常熟市七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分） 1．（3 分）下列计算正确的是（

）

B．2a2﹣a2＝2 D．（a+b）2＝a2+b2

A．a+a2＝a3

C．（ab2）2＝a2b4

（ 分）PM2.5 是指大气中直径小于或等于 0.0000025m 的颗粒物，数 0.0000025 用科学记 2． 3数法表示为（

）

B．2.5×10﹣6

C．0.25×10﹣5

）

D．2.5×10﹣7

A．25×10﹣7

3．（3 分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（

A．5cm，6cm，11cm

B．1cm，3cm，5cm

C．2cm，3cm，6cm

D．3cm，4cm，5cm

4．（3 分）如图，a∥b，射线 AB 分别交直线 a，b 于点 B，C，点 D 在直线 a 上，若∠A＝

30°，

∠1＝45°，则∠2 的度数为（

）

A．15°

B．30° C．50° D．80°

）

5．（3 分）若（x﹣3）（2x+m）＝2x2+nx﹣15，则（

A．m＝﹣5，n＝1

B．m＝5，n＝﹣1 C．m＝﹣5，n＝﹣1 D．m＝5，n＝1

）

D．4x2+9﹣12x

）

6．（3 分）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（

A．y2﹣x2+2xy B．y2+x2+xy C．25y2+15y+9

（3 分）如图，点 D 在△ABC 内，且∠BDC＝120°，∠1+∠2＝55°，则∠A 的7．度数为（

A．50° B．60° C．65° D．75°

）

8．（3 分）若 2x|k|+（k﹣1）y＝3 是关于 x，y 的二元一次方程，则 k 的值为（

第 1 页（共 21 页）

A．﹣1

B．1 C．1 或﹣1 D．0

9．（3 分）两个边长分别为 a，b，c 的直角三角形和一个两条直角边都是 c 的直角三角形拼

成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（

）

A．（a+b）2＝c2

B．（a﹣b）2＝c2 C．a2+b2＝c2 D．a2﹣b2＝c2

10．（3 分）小明一笔画成了如图所示的图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数

为（

）

A．360° B．0° C．600° D．720°

二．填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．（3 分）计算：2x2y﹣3xy2＝

．

cm．

．

12．（3 分）一个等腰三角形的两边长分别是 3cm 和 7cm，则它的周长是 13．（3 分）若多项式 m2﹣kmn+ n2 是一个完全平方式，则 k 的值为

14．（3 分）如果一个多边形的每一个角都相等，且一个内角是它相邻外角的 4 倍，则该多

边形的边数是

．

．

15．（3 分）若（x﹣1）（x2+5ax﹣a）的乘积中不含 x2 项，则 a 的值为 16．（3 分）已知 2a+3b﹣5＝0，则 4a×8b÷22 的值为

．

．

17．（3 分）已知

是方程组

的解，则 a2﹣b2＝

18．（3 分）如图，AD 是△ABC 的中线，点 E 在 AB 上，且 BE＝3AE，设四边形 BEFD 的面

积为 S△5，则 ABC 的面积为 1， ACF 的面积为 S2，若 S1﹣S2＝△

．

第 2 页（共 21 页）

三．解答题（本大题共 10 小题，共 76 分）

19．（9 分）计算：

0 2（﹣ （1）π﹣（﹣ ）﹣+3）2

（2）2a4﹣a•a3+（2a3）2÷a2

（3）（x﹣ y）2﹣（x﹣ y）（x+ y） 20．（9 分）分解因式：

（1）3a2﹣6a+3；

（2）a2﹣ab﹣6b2；

（3）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）

21．（8 分）解方程组：

（1）

（2）

（ x）22．（5 分）先化简，再求值： 1﹣（1+2x）﹣（2﹣x）（2+x）+3（x+1）2，其中 x＝﹣2．

23．（5 分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，△ABC 的顶点都在

正方形网格的格点（网格线的交点）上．

（△1）画出 ABC 向左平移 3 格，再向上平移 2 格所得的

A△1B1C1；

（△2）画出 ABC 的中线 CD 和高 AH；

（△3） A1B1C1 的面积为：

．

24．（6 分）一副直角三角板如图摆放，其中∠C＝30°，∠F＝45°，EF∥AC，AB 与 DE

相交于点 G，BC 与 EF、DF 分别相交于点 M、N，连接 DM，交 AC 于点 P．

第 3 页（共 21 页）

（1）求∠MND 的度数；

（2）当∠DPC＝∠MNF 时，DM 是∠EMC 的平分线吗？为什么？

25．（6 分）已知关于 x，y 的二元一次方程组

的值．

26．（8 分）已知 a+b＝3，ab＝ ，求下列式子的值：

的解满足方程 2x﹣y＝8，求 a

（1）a2+b2；

（2）（a﹣b）2；

（3）2﹣2b2+6b．

27．（10 分）（1）如图 1，在四边形 ABCD 中，DE 平分∠ADC，CE 平分∠DCB．若∠A+

∠B＝140°，求∠DEC 的度数；

（2）如图 2，四边形 ABCD 沿 MN 折叠，使点 C、D 落在四边形 ABCD 内的点 C′、D′

处，探索∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B 之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图 3，将四边形 ABCD 沿着直线 MN 翻折，使得点 D 落在四边形 ABCD 外部的 D′

处，点 C 落在四边形 ABCD 内部的 C′处，则∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B 之间的关

系是

．

28．（10 分）在△ABC 中，点 D 为边 BC 上一点，请回答下列问题：

（1）如图 1，若∠DAC＝∠B△， ABC 的角平分线 CE 交 AD 于点 F．试说明∠AEF＝∠

AFE；

（2）在（1）的条件下，如图△2， ABC 的外角∠ACQ 的角平分线 CP 交 BA 的延长线于

第 4 页（共 21 页）

点 P，∠P 与∠CFD 有怎样的数量关系？为什么？

（3）如图 3，点 P 在 BA 的延长线上，PD 交 AC 于点 F，且∠CFD＝∠B，PE 平分∠BPD，

过点 C 作 CE⊥PE，垂足为 E，交 PD 于点 G，试说明 CE 平分∠ACB．

第 5 页（共 21 页）

2018-2019 学年江苏省苏州市常熟市七年级（下）期中数

学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分）

1．（3 分）下列计算正确的是（

）

B．2a2﹣a2＝2 D．（a+b）2＝a2+b2

A．a+a2＝a3

C．（ab2）2＝a2b4

【分析】直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项法则、完全平方公式分别计算得出 答案．

【解答】解：A、a+a2，无法计算，故此选项错误；

B、2a2﹣a2＝a2，故此选项错误；

C、（ab2）2＝a2b4，正确；

D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；

故选：C．

【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项、完全平方公式，正确掌握相关

运算法则是解题关键．

2． 3（ 分）PM2.5 是指大气中直径小于或等于 0.0000025m 的颗粒物，数 0.0000025 用科学记

数法表示为（

）

B．2.5×10﹣6 C．0.25×10﹣5 D．2.5×10﹣7

A．25×10﹣7

【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数

字前面的 0 的个数所决定．

【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6，

故选：B．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10﹣n，其中 1≤|a|＜10，

n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．

3．（3 分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（

）

A．5cm，6cm，11cm

B．1cm，3cm，5cm

C．2cm，3cm，6cm D．3cm，4cm，5cm

第 6 页（共 21 页）

【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三

角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．

【解答】解：根据三角形三边关系可知，三角形两边之和大于第三边．

A、5+6＝11，此选项错误；

B、1+3＜5，此选项错误；

C、2+3＜6，此选项错误；

D、3+4＝7＞5，能组成三角形，此选项正确．

故选：D．

【点评】本题主要考查三角形三边关系，即三角形两边之和大于第三边．即：两条较短

的边的和小于最长的边，只要满足这一条就是满足三边关系．

4．（3 分）如图，a∥b，射线 AB 分别交直线 a，b 于点 B，C，点 D 在直线 a 上，若∠A＝

30°，

∠1＝45°，则∠2 的度数为（

）

A．15° B．30° C．50° D．80°

【分析】利用平行线的性质，三角形的外角的性质即可解决问题． 【解答】解：∵a∥b，

∴∠1＝∠DBC＝45°，

∵∠DBC＝∠A+∠2，∠A＝30°，

∴∠2＝15°，

故选：A．

【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握

基本知识，属于中考常考题型．

5．（3 分）若（x﹣3）（2x+m）＝2x2+nx﹣15，则（

）

A．m＝﹣5，n＝1

B．m＝5，n＝﹣1 C．m＝﹣5，n＝﹣1 D．m＝5，n＝1

【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出方程组，求出方程组的解即可． 【解答】解：（x﹣3）（2x+m）＝2x2+mx﹣6x﹣3m＝2x2+（m﹣6）x﹣3m，

第 7 页（共 21 页）

∵（x﹣3）（2x+m）＝2x2+nx﹣15，

∴m﹣6＝n，﹣3m＝﹣15，

解得：m＝5，n＝﹣1，

故选：B．

【点评】本题考查了多项式乘以多项式和解二元一次方程组，能正确运用多项式乘以多

项式法则展开是解此题的关键．

6．（3 分）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（

）

D．4x2+9﹣12x

A．y2﹣x2+2xy

B．y2+x2+xy C．25y2+15y+9

【分析】根据完全平方公式即可求出答案．

【解答】解：由完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2

4x2+9﹣12x＝（2x﹣3）2

故选：D．

【点评】本题考查了公式法分解因式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于

基础题型．

7．度数为（ （3 分）如图，点 D 在△ABC 内，且∠BDC＝120°，∠1+∠2＝55°，则∠A 的

）

A．50°

B．60° C．65° D．75°

【分析】想办法求出∠ABC+∠ACB 的值即可解决问题． 【解答】解：∵∠D＝120°，

∴∠DBC+∠DCB＝60°，

∵∠1+∠2＝55°，

∴∠ABC+∠ACB＝60°+55°＝115°，

∴∠A＝180°﹣115°＝65°，

故选：C．

【点评】本题考查三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属

于中考常考题型．

8．（3 分）若 2x|k|+（k﹣1）y＝3 是关于 x，y 的二元一次方程，则 k 的值为（

）

第 8 页（共 21 页）

A．﹣1

B．1 C．1 或﹣1 D．0

【分析】根据二元一次方程的定义，方程有两个未知数，那么未知数的系数不能为 0，求 出 k 的值．

【解答】解：由题意知：|k|＝1，k﹣1≠0，

解得 k＝﹣1．

故选：A．

【点评】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：1）（

方程中只含有 2 个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．

9．（3 分）两个边长分别为 a，b，c 的直角三角形和一个两条直角边都是 c 的直角三角形拼

成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（

）

A．（a+b）2＝c2

B．（a﹣b）2＝c2 C．a2+b2＝c2 D．a2﹣b2＝c2

【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角 形面积之和来求．

【解答】解：根据题意得：S＝ （a+b）（a+b），S＝ ab+ ab+ c2， ∴ （a+b）（a+b）＝ ab+ ab+ c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，

整理得：a2+b2＝c2． 故选：C．

【点评】此题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的

关键．

10．（3 分）小明一笔画成了如图所示的图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数

为（

）

A．360° B．0° C．600°

第 9 页（共 21 页）

D．720°

【分析】根据五边形的内角和是 0°，可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠1＝0°，又由三角

形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠1＝∠E+∠2，∠2＝∠F+∠G，从而

求出所求的角的和．

【解答】解：如图，

在五边形 ABCDH 中：∠A+∠B+∠C+∠D+∠1＝0°，

∵∠1＝∠E+∠2，∠2＝∠F+∠G，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝0°．

故选：B．

【点评】本题考查三角形外角的性质及五边形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和 内角的关系．

二．填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）

11．（3 分）计算：2x2y﹣3xy2＝

xy（2x﹣3y） ．

【分析】先找出公因式，再提取公因式即可． 【解答】解：2x2y﹣3xy2

＝xy（2x﹣3y），

故答案为：xy（2x﹣3y）．

【点评】本题考查了分解因式，能找出多项式的公因式是解此题的关键．

12．（3 分）一个等腰三角形的两边长分别是 3cm 和 7cm，则它的周长是

17 cm．

【分析】等腰三角形两边的长为 3cm 和 7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明， 因此要分两种情况讨论．

【解答】解：①当腰是 3cm，底边是 7cm 时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．

②当底边是 3cm，腰长是 7cm 时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17cm．

故答案为：17．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的

题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解

答，这点非常重要，也是解题的关键．

第 10 页（共 21 页）

13．（3 分）若多项式 m2﹣kmn+ n2 是一个完全平方式，则 k 的值为

±1 ．

【分析】利用完全平方公式的特征判断即可确定出 k 的值．

【解答】解：∵m2﹣kmn+ n2 是一个完全平方式，

∴﹣ ＝± ，

解得：k＝±1．

故答案是：±1．

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

14．（3 分）如果一个多边形的每一个角都相等，且一个内角是它相邻外角的 4 倍，则该多

边形的边数是 10 ．

【分析】一个内角是一个外角的 4 倍，内角与相邻的外角互补，因而外角是36 度，内角

是 144 度．根据任何多边形的外角和都是 360 度，利用 360 除以外角的度数就可以求出

外角和中外角的个数，即多边形的边数．

【解答】解：每一个外角的度数是 180÷（4+1）＝36 度，

360÷36＝10，

则该多边形的边数是 10．

故答案为：10．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角．根据外角和的大小与多边形的边数无关，由

外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．

15．（3 分）若（x﹣1）（x2+5ax﹣a）的乘积中不含 x2 项，则 a 的值为

0.2 ．

【分析】先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意，二次项的系数等于 0 列式求解即 可．

【解答】解：原式＝x3+5ax2﹣ax﹣x2﹣5ax+a

＝x3+（5a﹣1）x2﹣6ax+a，

∵乘积中不含 x2 项，

∴5a﹣1＝0，

解得：a＝0.2．

故答案为：0.2．

【点评】本题主要考查多项式与多项式的乘法，运算法则需要熟练掌握，不含某一项就

让这一项的系数等于 0 是解题的关键．

第 11 页（共 21 页）

16．（3 分）已知 2a+3b﹣5＝0，则 4a×8b÷22 的值为

8 ．

【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案． 【解答】解：∵2a+3b﹣5＝0，

∴2a+3b＝5，

则 4a×8b÷22＝22a×23b÷22

2 ＝22a+3b﹣

＝23

＝8．

故答案为：8．

【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键． 17．（3 分）已知

是方程组

的解，则 a2﹣b2＝ 1 ．

【分析】根据

是方程组 的解，可以求得 a+b 和 a﹣b 的值，从而可以解

答本题．

【解答】解：∵

是方程组 的解，

，

∴

解得，①﹣②，得

a﹣b＝ ，

①+②，得 a+b＝﹣5，

∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（﹣5）×（﹣ ）＝1，

故答案为：1．

【点评】本题考查二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确二元一次方程组的解得

意义，巧妙变形，利用平方差公式解答．

18．（3 分）如图，AD 是△ABC 的中线，点 E 在 AB 上，且 BE＝3AE，设四边形 BEFD 的面

积为 S△5，则 ABC 的面积为 20 ． 1， ACF 的面积为 S2，若 S1﹣S2＝△

第 12 页（共 21 页）

【分析】作 DH∥CE 交 AB 于 H，根据相似三角形的性质得到 △S AEF＝

S ABC，△S AFC △

＝ △S ABC，根据题意列式计算，得到答案．

【解答】解：作 DH∥CE 交 AB 于 H，

∵D 是 BC 的中点，

∴BH＝HE，

∵BE＝3AE，

∴

＝ ，

∵DH∥CE，

∴

＝ ＝ ， ＝ ＝ ，

∴

＝ ，

∴△S AEF＝ × △S ABC＝

S△

ABC，△S AFC＝ × △S ABC＝ △S ABC，

∴S

四边形 BEFD＝ △S ABC﹣ S△ABC＝ △S ABC，

由题意得，

S△

ABC﹣ △S ABC＝5，

解得．△S ABC＝20，

故答案为：20．

【点评】本题考查的是三角形的面积计算、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的面

积公式是解题的关键．

三．解答题（本大题共 10 小题，共 76 分）

19．（9 分）计算：

第 13 页（共 21 页）

（1）π0﹣（﹣ ）﹣2+（﹣3）2

（2）2a4﹣a•a3+（2a3）2÷a2

（3）（x﹣ y）2﹣（x﹣ y）（x+ y）

【分析】（ 1 ）根据零指数幂、负整数指数幂可以解答本题；

（2）根据幂的乘方、积的乘方和同底数幂的乘除法可以解答本题；

（3）根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题．

【解答】解：（1）π0﹣（﹣ ）﹣2+（﹣3）2

＝1﹣4+9

＝6；

（2）2a4﹣a•a3+（2a3）2÷a2

＝2a4﹣a4﹣4a6÷a2

＝2a4﹣a4﹣4a4

＝﹣3a4；

（3）（x﹣ y）2﹣（x﹣ y）（x+ y）

＝

＝﹣xy+

．

【点评】本题考查整式的混合运算、实数的运算、零指数幂、负整数指数幂，解答本题

的关键是明确它们各自的计算方法．

20．（9 分）分解因式：

（1）3a2﹣6a+3；

（2）a2﹣ab﹣6b2；

（3）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）

【分析】（ 1 ）先提公因式，然后根据完全平方公式即可解答本题；

（2）根据十字相乘法可以分解因式；

（3）根据提公因式法和平方差公式可以分解因式．

【解答】解：（1）3a2﹣6a+3

＝3（a2﹣2a+1）

＝3（a﹣1）2；

第 14 页（共 21 页）

（2）a2﹣ab﹣6b2

＝（a﹣3b）（a+2b）；

（3）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）

＝9a2（2x﹣y）﹣（2x﹣y）

＝（2x﹣y）（9a2﹣1）

＝（2x﹣y）（3a+1）（3a﹣1）．

【点评】本题考查因式分解，解答本题的关键是明确题意因式分解的各种方法．

21．（8 分）解方程组：

（1）

（2）

（ ）用加减消元法解答即可； 【分析】 1

（2）用加减消元法，然后用代入法解答即可．

【解答】解：（1）原方程组变形为

，

②﹣①，得 2y＝﹣2，

∴y＝﹣1，

将 y＝﹣1 代入①，得 2x﹣1＝3，

∴x＝2，

所以原方程组的解为

；

（2）

①+②，得 2x﹣z＝6，④ ③﹣②，得 x＝﹣7，

将 x＝﹣7 代入①，得﹣7+y＝﹣1，

∴y＝6，

将 x＝﹣7 代入④，得﹣14﹣z＝6，

∴z＝﹣20，

第 15 页（共 21 页）

∴原方程组的解为

．

【点评】本题考查了一次方程组，熟练运用加减消元和代入消元是解题的关键． 22．（5 分）先化简，再求值： 1﹣（1+2x）﹣（2﹣x）（2+x）+3（x+1）2，其中 x＝﹣2． （ x）

【分析】直接利用乘法公式进而化简，再合并同类项，最后把已知数据代入即可．

【解答】解：原式＝1+x﹣2x2﹣（4﹣x2）+3x2+6x+3

＝2x2+7x，

将 x＝﹣2 代入得：原式＝2×（﹣2）2﹣14

＝﹣6．

【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确合并同类项是解题关键．

23．（5 分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，△ABC 的顶点都在

正方形网格的格点（网格线的交点）上．

（△1）画出 ABC 向左平移 3 格，再向上平移 2 格所得的

A△1B1C1；

（△2）画出 ABC 的中线 CD 和高 AH；

（△3） A1B1C1 的面积为：

．

【分析】1（ ）利用网格特点和平移的性质画出 ABC 的对应 A △△1B1C1 即可； （2）利用网格特点找出 AB 的中点 D，然后连接 AD，进而利用高线解答即可；

（3）根据三角形的面积公式解答即可．

【解答】解：（△1）如图所示：

A1B1C1 即为所求

第 16 页（共 21 页）

（2）如图所示：CD，AH 即为所求；

（3）△A1B1C1 的面积＝△ABC 的面积＝

．

故答案为：

．

【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、

平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离

确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

24．（6 分）一副直角三角板如图摆放，其中∠C＝30°，∠F＝45°，EF∥AC，AB 与 DE

相交于点 G，BC 与 EF、DF 分别相交于点 M、N，连接 DM，交 AC 于点 P．

（1）求∠MND 的度数；

（2）当∠DPC＝∠MNF 时，DM 是∠EMC 的平分线吗？为什么？

（ ）根据∠MND＝∠F+∠FMN 计算即可． 【分析】 1（2）通过计算证明∠DME＝∠DMN＝75°即可解决问题．

【解答】解：（1）∵EF∥AC，

∴∠FMN＝∠C＝30°，

∴∠MND＝∠F+∠FMN＝30°+45°＝75°，

（2）∵AC∥EF，

∴∠DPC＝∠DMF＝∠DMN+∠FN＝MC＝∠DMN+30°，

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∵∠MNF＝∠DMB+∠MDN，∠DPC＝∠MNF，

∴∠MDN＝30°，

∴∠DME＝180°﹣45°﹣60°＝75°，

∵∠FMC＝∠C＝30°，

∴∠EMN＝150°，

∴∠DME＝∠DMN＝75°，

∴DM 是∠EMC 的平分线．

【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解

题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 25．（6 分）已知关于 x，y 的二元一次方程组

的值．

的解满足方程 2x﹣y＝8，求 a

【分析】根据题意得到二元一次方程组，解方程组求出 x、y，代入计算，得到答案．

【解答】解：由题意得，

，

解得，

，

则 2×3﹣3×（﹣2）＝7a﹣9，

解得，a＝3．

【点评】本题考查的是二元一次方程组的解和解法，掌握解二元一次方程组的一般步骤

是解题的关键．

26．（8 分）已知 a+b＝3，ab＝ ，求下列式子的值：

（1）a2+b2；

（2）（a﹣b）2；

（3）2﹣2b2+6b．

222【分析】 1（ ）依据 a+b＝（a+b）﹣2ab，进行计算即可；

（2）依据（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，进行计算即可；

（3）依据 a+b＝3，即可得到 b2﹣6b+9＝a2，再根据 2﹣2b2+6b＝2﹣b2﹣（b2﹣6b+9）

+9 进行计算即可．

【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2× ＝9﹣ ＝

；

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（2）（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝

﹣2× ＝4；

（3）∵a+b＝3，

∴b﹣3＝﹣a，

∴b2﹣6b+9＝a2，

∴2﹣2b2+6b＝2﹣b2﹣b2+6b﹣9+9＝2﹣b2﹣（b2﹣6b+9）+9＝2﹣b2﹣a2+9＝11﹣ 【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．

＝ ．

27．（10 分）（1）如图 1，在四边形 ABCD 中，DE 平分∠ADC，CE 平分∠DCB．若∠A+

∠B＝140°，求∠DEC 的度数；

（2）如图 2，四边形 ABCD 沿 MN 折叠，使点 C、D 落在四边形 ABCD 内的点 C′、D′

处，探索∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B 之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图 3，将四边形 ABCD 沿着直线 MN 翻折，使得点 D 落在四边形 ABCD 外部的 D′

处，点 C 落在四边形 ABCD 内部的 C′处，则∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B 之间的关

系是 ∠BNC′﹣∠AMD′＝360°﹣2（∠A+∠B） ．

【分析】（1）根据四边形的内角和可知∠ ADC+∠BCD＝360°﹣（∠ A+∠B），再根据 DE 平分∠ADC，CE 平分∠DCB，可求出∠DEC 的度数．

（2）根据四边形的内角和可知∠DMN+∠CNM＝∠A+∠B，再根据翻折可找到∠AMD′、

∠BNC′与∠A+∠B 之间的数量关系．

（3）同理可得∠DMN+∠CNM＝∠A+∠B，再根据翻折可找到∠AMD′、∠BNC′与∠

A+∠B 之间的数量关系．

【解答】解：（1）∵∠ADC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠B）＝220°，

∵DE 平分∠ADC，CE 平分∠DCB，

∴∠ADE＝∠EDC＝ ∠ADC，∠ECB＝∠DCE＝ ∠DCB，

∴∠EDC+∠ECD＝ （∠ADC+∠BCD）＝110°，

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∴∠DEC＝180°﹣（∠EDC+∠ECD）＝70°．

（2）根据四边形的内角和为 360°可知，∠D+∠C＝360°﹣（∠A+∠B）

∠DMN+∠CNM＝360°﹣（∠C+∠D）＝∠A+∠B，

∵∠DMN＝∠D′MN，∠CNM＝∠C′NM，

∴∠DMD′+∠CNC′＝2（∠A+∠B），

∴∠AMD′+∠BNC′＝360°﹣2（∠A+∠B）．

（3）同理∠DMN+∠CNM＝∠A+∠B，

∴∠D′MN﹣∠D′MA+∠C′NB+∠C′NM＝360°﹣（∠A+∠B）

∴∠C′NB﹣∠D′MA＝360°﹣2（∠A+∠B）．

故答案为：∠C′NB﹣∠D′MA＝360°﹣2（∠A+∠B）．

【点评】此题考查了四边形的内角和为 360°，翻折变换的性质，根据翻折找到等量关系

为解题关键．

28．（10 分）在△ABC 中，点 D 为边 BC 上一点，请回答下列问题：

（1）如图 1，若∠DAC＝∠B△， ABC 的角平分线 CE 交 AD 于点 F．试说明∠AEF＝∠

AFE；

（2）在（1）的条件下，如图△2， ABC 的外角∠ACQ 的角平分线 CP 交 BA 的延长线于

点 P，∠P 与∠CFD 有怎样的数量关系？为什么？

（3）如图 3，点 P 在 BA 的延长线上，PD 交 AC 于点 F，且∠CFD＝∠B，PE 平分∠BPD，

过点 C 作 CE⊥PE，垂足为 E，交 PD 于点 G，试说明 CE 平分∠ACB．

（ ）如图 1 中，根据三角形的外角的性质即可证明． 【分析】 1

（2）如图 2 中，首先证明∠PCE＝90°，再根据直角三角形两锐角互余即可解决问题．

（3）如图 3 中，延长 PE 交 BC 于 H，设 PA 交 AC 于 K．只要证明∠EKC＝∠EHC，即

可解决问题．

【解答】解：（1）如图 1 中，∵∠AEF＝∠B+∠ECB，∠AFE＝∠FAC+∠ACE，

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又∵∠B＝∠FAC，∠ECB＝∠ACE，

∴∠AEF＝∠AFE．

（2）如图 2 中，

∵∠ACE＝ ∠ACB，∠ACP＝ ∠ACQ，

∴∠ECP＝∠ACE+∠ACP＝ （∠ACB+∠ACQ）＝90°，

∴∠P+∠AEC＝90°，

∵∠AEF＝∠AFE＝∠CFD，

∴∠P+∠CFD＝90°．

（3）如图 3 中，延长 PE 交 BC 于 H，设 PA 交 AC 于 K．

∵∠EKC＝∠KPF+∠PFA，∠EHC＝∠B+∠BPK，

又∵∠B＝∠CFD＝∠PFA，∠KPF＝∠BPH，

∴∠EKC＝∠EHC，

∵CE⊥KH，

∴∠CEK＝∠CEH＝90°，

∴∠EKC+∠ECK＝90°，∠EHC+∠ECH＝90°，

∴∠ECK＝∠ECH，

∴EC 平分∠ACB．

【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，

解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

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