《材料力学》第2章轴向拉[压]变形习题解

第二章 轴向拉(压)变形

[习题2-1] 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。 （a） 解：（1）求指定截面上的轴力 N11F

N222FFF （2）作轴力图

轴力图如图所示。 （b） 解：（1）求指定截面上的轴力 N112F

N222F2F0 （2）作轴力图

N33F2F2FF 轴力图如图所示。 （c） 解：（1）求指定截面上的轴力 N112F

N22F2FF （2）作轴力图

N332FF2F3F 轴力图如图所示。 （d） 解：（1）求指定截面上的轴力 N11F

N222FqaF2F（2）作轴力图

中间段的轴力方程为： N(x)FFaF2F aFx x(a,0] a 轴力图如图所示。

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[习题2-2] 试求图示等直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。若横截面面积

A400mm2，试求各横截面上的应力。

解：（1）求指定截面上的轴力

N1120kN

N22102010(kN) N3320102010(kN) （2）作轴力图

轴力图如图所示。 （3）计算各截面上的应力 11N1120103N50MPa

A400mm2N2210103N25MPa 2A400mmN3310103N25MPa

A400mm222 33[习题2-3] 试求图示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。若横截面面积

A1200mm2，A2300mm2，A3400mm2，并求各横截面上的应力。

解：（1）求指定截面上的轴力

N1120kN

N22102010(kN) N3320102010(kN) （2）作轴力图

轴力图如图所示。 （3）计算各截面上的应力 11N1120103N100MPa

A1200mm2N2210103N33.3MPa 2A2300mmN3310103N25MPa 2A400mm22 33 专业.资料.整理

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[习题2-4] 图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm8mm的等边角钢。已知屋面承受集度为q20kN/m的竖直均布荷载。试求拉杆AE和EC横截面上的应力。 解：（1）求支座反力

由结构的对称性可知： RARB1ql0.520(24.379)177.4(kN) 2 （2）求AE和EG杆的轴力

① 用假想的垂直截面把C铰和EG杆同时切断，取左部分为研究对象，其受力图如图所示。

由平衡条件可知：

MC(F)0

NEG(11.2)20(4.374.5) NEG8.87177.48.870 218.87[20(4.374.5)177.48.87]357.62(kN) 2.22 ② 以C节点为研究对象，其受力图如图所示。

由平平衡条件可得：

X0

NEGcos357.624.374.37212 NEGNEAcos0 NEA366.86(kN)

（3）求拉杆AE和EG横截面上的应力

查型钢表得单个75mm8mm等边角钢的面积为：

A111.503cm21150.3mm2

AENEA366.86103N159.5MPa

A21150.3mm2NEG357.62103N155.5MPa 2A21150.3mm EG[习题2-5] 石砌桥墩的墩身高l10m，其横截面面尺寸如图所示。荷载F1000kN，材料的密度2.35kg/m，试求墩身底部横截面上的压应力。 解：墩身底面的轴力为：

3N(FG)FAlg

1000(323.1412)102.359.83104.942(kN)

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1000(323.1412)102.359.8

3104.942(kN)

墩身底面积：A(323.141)9.14(m)

因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。

22N3104.942kN339.71kPa0.34MPa 2A9.14m2[习题2-6] 图示拉杆承受轴向拉力F10kN，杆的横截面面积A100mm。如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当0,30,45,60,90时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。

解：斜截面上的正应力与切应力的公式为：

ooooo0cos2

02sin2

式中，0

N10000N100MPa，把的数值代入以上二式得： 2A100mm轴向拉/压杆斜截面上的应力计算 题目 编号 习题2-6 N(N) A(mm2) (o)0 30 45 60 90 0(MPa)(MPa)(MPa)100 100 100 100 100 100.0 75.0 50.0 25.0 0.0 0.0 43.3 50.0 43.3 0.0 10000 10000 10000 10000 10000 100 100 100 100 100

[习题2-7] 一根等直杆受力如图所示。已知杆的横截面面积A和材料的弹性模量E。试作轴力图，并求杆端点D的位移。 解：（1）作轴力图

NCDF

NBC2FFF NAB2F2FFF AD杆的轴力图如图所示。

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（2）求D点的位移

DlADNABlABNBClBCNCDlCD EAEAEAFl/3Fl/3Nl/3 EAEAEAFl（→） 3EA[习题2-8] 一木桩受力如图所示。柱的横。截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E10GPa。如不计柱的自重，试求：

（1）作轴力图；

（2）各段柱横截面上的应力； （3）各段柱的纵向线应变； （4）柱的总变形。 解：（1）作轴力图

NAC100kN

NCB100160260(kN)

轴力图如图所示。 （2）计算各段上的应力 ACNAC100103N2.5MPa。 2A200200mmNCB260103N6.5MPa， 2A200200mmCB（3）计算各段柱的纵向线应变 ACACE2.5MPa42.510 31010MPa6.5MPa6.5104 31010MPaCBCBE（4）计算柱的总变形

lACAClACCBlCB(2.515006.51500)1041.35(mm)

[习题2-9] 一根直径d16mm、长l3m的圆截面杆，承受轴向拉力F30kN，其伸长为l2.2mm。试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量E。 解：（1）求杆件横截面上的应力

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N30103N149.3MPa

A1223.1416mm4（2）求弹性模量

Nl， EANll3000所以：E149.3203590.9(MPa)203.6GPa。

All2.2因为：l[习题2-10] （1）试证明受轴向拉伸（压缩）的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变s等于直径方向的线应变d。

（2）一根直径为d10mm的圆截面杆，在轴向力F作用下，直径减小了0.0025mm。如材料

的弹性模量E210GPa，泊松比0.3，试求该轴向拉力F。

（3）空心圆截面杆，外直径D120mm，内直径d60mm，材料的泊松比0.3。当其轴向拉伸时，已知纵向线应变0.001，试求其变形后的壁厚。 解：（1）证明sd

在圆形截面上取一点A，连结圆心O与A点，则OA即代表直径方向。过A点作一条直线AC

垂直于OA，则AC方向代表圆周方向。

sAC （泊松比的定义式），同理， dOA 故有：sd。 （2）求轴向力F

d0.0025mm ''d0.00252.5104 d10 

'2.510425104 0.33 E

FE A23 FAE0.253.141021010（3）求变形后的壁厚

0.30.001310

'42510413737.5(N)13.74kN 3 专业.资料.整理

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(Rr)'3104

Rr4 (Rr)(310)(6030)0.009mm 变形厚的壁厚：

(Rr)|(Rr)|300.00929.991(mm)

[习题2-11] 受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为E,，试求C与D两点间的距离改变量CD。 解：'F/AF EEA22 式中，A(a)(a)4a，故：

F 4EaaF 'a4EaF' aaa

4EF a'a4E '223CD(2a)(a)34145a 12145a' 12223C'D'(23a')(4a')(CD)C'D'CD145'145FF(aa)1.003 12124E4E[习题2-12] 图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量E210GPa，

22已知l1m，A1A2100mm，A3150mm，F20kN。试求C点的水平位移和铅垂位移。

解：（1）求各杆的轴力

以AB杆为研究对象，其受力图如图所示。 因为AB平衡，所以

X0

N30

受力图 o N3cos450

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由对称性可知，CH0

N1N20.5F0.52010(kN)

（2）求C点的水平位移与铅垂位移。

A点的铅垂位移：l1变形协调图 N1l10000N1000mm0.476mm EA1210000N/mm2100mm2N2l10000N1000mm0.476mm EA2210000N/mm2100mm2 B点的铅垂位移： l21、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB为刚性杆，可以得到：

o C点的水平位移：CHAHBHl1tan450.476(mm)

C点的铅垂位移：Cl10.476(mm)

[习题2-13] 图示实心圆杆AB和AC在A点以铰相连接，在A点作用有铅垂向下的力F35kN。已知杆AB和AC的直径分别为d112mm和d215mm，钢的弹性模量E210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。 解：（1）求AB、AC杆的轴力

以节点A为研究对象，其受力图如图所示。 由平衡条件得出：

ooNsin30Nsin450 ：X0ACAB NAC

2NAB………………………(a)

Y0：NACcos30oNABcos45o350

3NAC2NAB70………………(b)

(a) (b)联立解得：

NABN118.117kN；NACN225.621kN （2）由变形能原理求A点的铅垂方向的位移

2N12l1N2l21 FA 22EA12EA22l21N12l1N2 A()

FEA1EA2 式中，l11000/sin451414(mm)；l2800/sin301600(mm)

oo 专业.资料.整理

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A10.253.1412113mm；A20.253.1415177mm

2222118117214142562121600()1.366(mm) 故：A35000210000113210000177[习题2-14] 图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d1mm的钢丝，在钢丝的中点C加一

竖向荷载F。已知钢丝产生的线应变为0.0035，其材料的弹性模量E210GPa， 钢丝的自重不计。试求：

（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）； （2）钢丝在C点下降的距离； （3）荷载F的值。 解：（1）求钢丝横截面上的应力 E2100000.0035735(MPa) （2）求钢丝在C点下降的距离

Nll20007357(mm)。其中，AC和BC各3.5mm。 EAE2100001000 cos0.996512207

1003.51000 arccos()4.7867339o

1003.5 l 1000tan4.7867339o83.7(mm)

（3）求荷载F的值

以C结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：

Y0：2NsinaP0

P2Nsina2Asin

27350.253.1412sin4.787096.239(N)

[习题2-15] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。 解：取长度为dx截离体（微元体）。则微元体的伸长量为：

d(l)lFdx EA(x)l0FFldxdx EA(x)E0A(x)rr1x

r2r1lrr2r1dd1dxr12x1 l2l2 专业.资料.整理

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ddd1A(x)2x1u2

22ld(d2d1ddd1x1)du2dx 2l22l2ldu

d2d12dx2ldddx2ldu221du(2) A(x)(d1d2)uu因此，

ll0lFFldx2Fldudx() EA(x)E0A(x)E(d1d2)0u2l2Fl2Fl11 dddE(d1d2)uE(dd)01122x12l022Fl11 d1d1E(d1d2)d2d1l222ll22Fl2

E(d1d2)d2d14Fl

Ed1d2[习题2-16] 有一长度为300mm的等截面钢杆承受轴向拉力F30kN。已知杆的横截面面积

A2500mm2，材料的弹性模量E210GPa。试求杆中所积蓄的应变能。 N2l300002N20.3m0.257(Nm) 解：U222EA2210000N/mm2500mm[习题2-17] 两根杆A1B1和A2B2的材料相同，其长度和横截面面积相同。杆A1B1承受作用在端点的集中荷载F；杆A2B2承受沿杆长均匀分布的荷载，其集度f解：（1）求（a）图的应变能

F。试比较这两根杆内积蓄的应变能。 l 专业.资料.整理

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F2lUa

2EA（2）求（b）图的应变能

N2(x)dx dUb

2EA Ubl02N2(x)dx1l(fx)dx 02EA2EAf2l2f2l3(F/l)2l3F2lxdx 2EA06EA6EA6EA

(3) 以上两种情形下的应变能比较

F2lUa2EA23，即：Ua3Ub。 UbFl6EA[习题2-18] 图示一钢筋混凝土平面闸门，其最大启门力为F140kN。如提升闸门的钢质丝杠内径d40mm，钢的许用应力[]170MPa，试校核丝杠的强度。 解：（1）计算最大工作应力

max NmaxF 2A0.25d140000N111.465(MPa)

0.253.14402（2）强度校核

因为 []170MPa，max111.465MPa

即：max[]

所以丝杠符合强度条件，即不会破坏。

[习题2-19] 简易起重设备的计算简图如图所示。已知斜杆AB用两根63mm40mm4mm不等边角钢组成，钢的许用应力[]170MPa。试问在起重量P15kN的重物时，斜杆AB是否满足强度条件？ 解：（1）计算AB杆的工作应力

以A结点为研究对象，其受力图如图所示。由其平衡条件可得：

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Y0

NABsin300FP0 NABsin3002P0

NAB4P41560(kN)

查型钢表得：单个63mm40mm4mm不等边角钢 的面积为：4.058cm405.8mm 。两个角钢的总 面积为2405.8811.6(mm)

故AB杆的工作应力为： max22260000N74MPa 2811.6mm （2）强度校核

因为 []170MPa，max74MPa 即：max[]

所以AB杆符合强度条件，即不会破坏。

[习题2-20] 一块厚10mm、宽200mm的旧钢板，其截面被直径d20mm的圆孔所削弱，圆孔的排列对称于杆的轴线，如图所示。钢板承受轴向拉力F200kN。材料的许用应力

[]170MPa，若不考虑应力集中的影响，试校

核钢板的强度。 解：（1）判断危险截面

垂直于轴线，且同时过两个孔的截面是危 险截面。不考虑应力集中时，可认为应力在这截面上均匀分布。

（2）计算工作应力

危险截面上的工作应力为：指示

maxNF Abt2dt200000N125MPa 2(200220)10mm（3）强度校核

因为 []170MPa，max125MPa 即：max[]

所以AB杆符合强度条件，即不会破坏。

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[习题2-21] 一结构受力如图所示，杆件AB，AD均由两根等边角钢组成。已知材料的许用应力

[]170MPa，试选择AB，AD的角钢型号。

解：（1）求AB、AD杆的轴力

由对称性可知：

NAD1(3002)300(kN) 2取节点A为研究对象，由其平衡条件可得：

Y0

NABsin300NAD0

NAB2NAD600(kN)

（2）计算AB、AD杆的工作应力，并选定角钢。

ADNAD[] AADNAD300000N2217.7mm17.65cm 2[]170N/mm2AAD查型钢表，AD杆可选用两根角钢号数为8的、80mm6mm（单根面积9.397cm）的等边角钢。

ABNAB[] AABNAB600000N3529.1mm235.291cm2 2[]170N/mm2AAB查型钢表，AB杆可选用两根角钢号数为10的、100mm10mm（单根面积19.261cm）的等边角钢。

[习题2-22] 一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力

[]170MPa，试选择AC和CD的角钢型

号。 解：（1）求支座反力 由对称性可知， RARB220kN() （2）求AC杆和CD杆的轴力

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以A节点为研究对象，由其平 衡条件得：

Y0

RA220366.667(kN) sin3/5 RANACcos0 NAC 以C节点为研究对象，由其平衡条件得：

X0

2204/5293.333(kN) 3/5 NCDNACcos0 NCDNACcos （3）由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号 AC杆： AACNAC366667N222156.86mm21.569cm 2[]170N/mm2 选用2∟807（面积210.8621.72cm）。 CD杆： ACDNCD293333N221725.488mm17.255cm 2[]170N/mm2 选用2∟756（面积28.79717.594cm）。

[习题2-23] 一结构受力如图所示，杆件AB、CD、EF、GH都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力[]170MPa，材料的弹性模量E210GPa，杆AC及EG可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点D、C、A处的铅垂位移D、C、A。 解：（1）求各杆的轴力 NAB NCD

3.2300240(kN) 40.830060(kN) 4FM0

NGH33001.5601.20

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1NGH(45072)174(kN)

3Y0

NEF174603000

NEF186(kN)

（2）由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号 AB杆： AABNAB240000N221411.765mm14.12cm 2[]170N/mm2 选用2∟90565（面积27.21214.424cm）。 CD杆： ACDNCD60000N352.941mm23.529cm2 2[]170N/mm2 选用2∟40253（面积21.3.78cm）。

EF杆：

AEFNEF186000N1094.118mm210.412cm2 2[]170N/mm2 选用2∟70455（面积25.60911.218cm）。 GH杆： AGHNGH174000N1023.529mm210.353cm2 2[]170N/mm2 选用2∟70455（面积25.60911.218cm）。 （3）求点D、C、A处的铅垂位移D、C、A lABNABlAB24000034002.6942.7(mm)

EAAB2100001442.4NCDlCD6000012000.907(mm)

EACD210000378NEFlEF18600020001.580(mm)

EAEF2100001121.8 lCDlEF 专业.资料.整理

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lGHNGHlGH17400020001.477(mm)

EAGH2100001121.8EG杆的变形协调图如图所示。

DlGH1.8

lEFlGH3D1.4771.8 1.5801.4773D1.(mm)

CDlCD1.0.9072.45(mm)

AlAB2.7(mm)

[习题2-24] 已知混凝土的密度2.2510kg/cm，许用压应力[]2MPa。试按强度条件确定图示混凝土柱所需的横截面面积A1和A2。若混凝土的弹性模量E20GPa，试求柱顶A的位移。

解：（1）确定A1和A2

混凝土的重度（重力密度）：

33g2.251039.822.05(kN/m3)

上段（1杆）：

1杆的重量：1000A11222.0510002.6A1(kN)

|1max|[]

10002.6A1kPa[]2000kPa

A110002.6A12000A1 1735.4A11000 A10.576(m2)

下段（2杆）

2杆的重量：10000.5761222.05A21222.051152.412.6A2(kN)

|2max|[]

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1152.412.6A2AkPa[]2000kPa

21152.412.6A22000A2 1735.4A21152.41 A20.6(m2)

2）计算A点的位移

1杆的轴力：N(x)(10000.576x22.05)(12.7x1000)(kN) 2杆的轴力：N(y)(10000.5761222.050.6y22.05)

N(y)(14.y1152.41)(kN)

l(12.7x1000)kN112020106kN/m20.576m2dx

1061211.520(12.7x1000)dx

10611.526.35x21000x120 10611.526.35122100012 1121106(m)

1.121(mm) （负号表示压缩量）

l(14.y1152.41)kN212020106kN/m20.6m2dy

1061213.280(14.y1152.41)dy

10613.287.32y21152.41y120 10613.287.321221152.4112 1121106(mm)

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x以m为单位） （（ 完美.格式.编辑

1.121(mm) （负号表示压缩量）

Al1l21.1211.1212.242(mm)（↓）

[习题2-25] （1）刚性梁AB用两根钢杆AC、BD悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆AC和BD的直径分别为d125mm和d218mm，钢的许用应力[]170MPa，弹性模量E210GPa 。试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形lAC、lBD及A、B两点的竖向位移A、B。 解：（1）校核钢杆的强度

① 求轴力

NACNBC310066.667(kN) 4.51.510033.333(kN) 4.5NAC66667N 22AAC0.253.1425mm ② 计算工作应力 AC 135.882MPa

BDNBD33333N ABD0.253.14182mm2 131.057MPa

③ 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa，即AC[]；BD[]， 所以AC及BD杆的强度足够，不会发生破坏。 （2）计算lAC、lBD lACNAClAC6666725001.618(mm)

EAAC210000490.625NBDlBD3333325001.560(mm)

EABD2100002.34 lBD （3）计算A、B两点的竖向位移A、B AlAC1.618(mm) BlBD1.560(mm)。

[习题2-26] 图示三铰屋架的拉杆用16锰钢杆制成。已知材料的许用应力[]210MPa，弹性模 量E210GPa。试按强度条件选择钢杆的直径，并计算钢杆的伸长。

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解：（1）求支座反力

由对称性可知： RARB

0.516.917.7149.565(kN)（↑）

（2）求拉杆AB的轴力

MC0

NAB3.1416.98.854.425149.5658.850 NAB210.772(kN)

（3）按强度条件选择钢杆的直径 AABNAB210772N1003.6876mm2 2[]210N/mm22 0.253.14d1003.6876mm

d21278.563mm2

d35.76mm

（4）计算钢杆的伸长 lABNABlAB2107721770017.7(mm)

EAAB2100001003.6876[习题2-27] 简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC的长度l保持不变，斜杆AB的长度可随夹角的变化而改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求： （1）两杆的夹角；

（2）两杆横截面面积的比值。 解：（1）求轴力

取节点B为研究对象，由其平衡条件得：

Y0

F sin NABsinF0 NAB

X0

NABcosNBC0

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NBCNABcos （2）求工作应力 ABFcosFcot sinNABF AABAABsinNBCFcot ABCABC BC （3）求杆系的总重量

3 WV(AABlABABClBC) 。是重力密度（简称重度，单位：kN/m）。

(AABlABCl) cos1l(AABABC)

cosNABFF[]，AAB AABAABsin[]sinNBCFcotFcot[]， ABC ABCABC[] （4）代入题设条件求两杆的夹角 条件①： AB BC条件⑵：W的总重量为最小。

1ABC) cos1 l(AABABC)

cos Wl(AAB l(F1Fcot)

[]sincos[] Fl1cos() []sincossinFl1cos2 sincos2Fl1cos2 sin2从W的表达式可知，W是角的一元函数。当W的一阶导数等于零时，W取得最小值。

dW2Fl2cossinsin2(1cos2)cos2220 dsin2 专业.资料.整理

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sin223cos2cos220 2sin223cos2cos220

3cos21 cos20.3333

2arccos(0.3333)109.47o

.74oo44'

（5）求两杆横截面面积的比值 AABF

[]sin ABCFcot []

AABABCF11[]sin Fcotsincotcos[] 因为： 3cos21 2cos1 cos cos221 31 313

13 cosAAB3 ABC 所以：

[习题2-28] 一内径为r，厚度为（布的压力p（如图），试求：

r），宽度为b的薄壁圆环。在圆环的内表面承受均匀分10（1）由内压力引起的圆环径向截面上应力； （2）由内压力引起的圆环半径的伸长。 解：（1）求圆环径向截面上应力

如图，过水平直径作一水平面（即为径向截面），取上半部分作为研究对象，其受力图如图所示。由平衡条件得：

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Y0

2rbp2b0

rp

（2）求由内压力引起的圆环半径的伸长 应用变形能原理：WU。

12(2rb)p2ruV2E(2rb)

专业.资料.整理 2rEpEp(pr2pr2)E