第九讲较复杂的鸡兔同笼问题（二）

【经典回顾】

1、实验小学四年级举行数学竞赛，一共出了10道题，答对一题得10分，答错一题倒扣5分。张华把10道题全部做完，结果得了70分。他答对了几道题？ 【解析】10-（10×10-70）÷（10+5）=8（道）

2、鸡和兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28．鸡有 只，兔有 只． 【解析】100×4=400，（400－28）÷（4＋2）=62，100－62=38 【答】鸡有62只，兔有38只．

3、鸡、兔共有100只脚，若鸡数和兔数互换，则共有脚86只，问鸡、兔各有多少只？ 【解析】（100＋86）÷6 =31（只） 31×4 =124（只） 124－100 = 24（只） 24÷（4－2）=12（只） （100－12×2）÷4 = 19（只）

多个对象的“鸡兔同笼”

【趣题引路】有16位教授，有人带1个研究生，有人带2个研究生，也有人带3个研究生，他们共带了27个研究生，其中带1个研究生的教授人数与带2个和3个研究生的教授总数一样多，问带2个研究生的教授有几人？

【解析】16÷2=8（人）27-8=19（个）（3×8-19）÷（3-2）=5（人）

【例 1】 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿11，翅膀20对(蜘蛛腿；蜻蜓6条

腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀)，求蜻蜓有多少只？

【解析】 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛腿.

因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为

618108(条)，所差11810810(条)，必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有(118108)(86)5(只)蜘蛛.这样剩下的18513(只)便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数11313(对)，比实际数少 20137(对)，这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7(21)7(只).

【例 2】 (希望杯培训题)在一次考试中有选择题、填空题和解答题三类题共22道．选择题和填空题每题

4分，解答题每题10分．这次考试总分是100分，其中选择题和解答题的分值比填空题多4分，这次考试有多少道选择题？多少道填空题？多少道解答题？

【解析】 选择题和填空题的分值一样，可以归为一类。如果这次考试的22道题全是解答题，则总分应是：

2210220(分)，但实际总分是100分，所以选择题和填空题共有：（220100）（104）20 (道)，解答题有：22202(道)．选择题比填空题少：210416(分)，选择题有：（10021016）248(道)，填空题有：20812(道)．

【例 3】 犀牛、羚羊、孔雀三种动物共有头26个，脚80只，犄角20只．已知犀牛有4只脚、1

只犄角，羚羊有4只脚，2只犄角，孔雀有2只脚，没有犄角．那么，犀牛、羚羊、孔雀各有几只呢？

【解析】 这道题有三种不同的动物混合在一起，这样假设起来会比较麻烦，像前面的题一样，我们可以观

察一下：虽然有三种不同的动物，但是犀牛和羚羊都是4只脚，这样，只看脚数，就可以把孔雀与这两种动物分开，转化成我们熟悉的“鸡兔同笼”问题，然后再通过犄角的不同，把犀牛和羚羊分开，也就是说我们需要做两次“鸡兔同笼”． 假设26只都是孔雀，那么就有脚：26252（只），比实际的少：805228（只），这说明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊．每增加一只犀牛或羚羊，减少一只孔雀，就会增加脚数：422（只）．所以，孔雀有2628212（只），犀牛和羚羊总共有261214（只）．

假设14只都是犀牛，那么就有犄角：14114（只），比实际的少：20146（只），这说明犀牛多了羚羊少了，需要减少犀牛增加羚羊．每增加一只羚羊，减少一只犀牛，犄角数就会增加：

，所以，羚羊的只数：616（只），犀牛的只数：1468（只）． 211（只）

［小结］这道题出现了三种动物，关键是寻找不同动物的相同点，把三种动物化为两类，先使用“鸡兔同

笼”问题的解法把另外特殊的一种区分出来，再使用另外条件区分具有相同点的动物．

【例 4】 商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？

【解析】 因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的

整数倍.我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两

种球看作一种,每个价钱是 (1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元). 从公式可算出,大球个数是 (120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(个). 买中,小球钱数各是 (120-30×3)÷2=15(元). 可买10个中球,15个小球.

【例 5】 某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种:一等奖1000元,二等奖250元,三等奖50元.

共有100人中奖,奖金总额为9500元.问二等奖有多少名？ 【解析】 假设全是三等奖，共有：9500/50=190（人）中奖，比实际多：190-100=90（人）

1000/50=20，也就是说：把20个三等奖换成一个一等奖，奖金总额不变，而人数减少了：20-1=19（人） 250/50=5，也就是说：把5个三等奖换成一个二等奖，奖金总额不变，而人数减少了：5-1=4（人）。 因为多出的是90人，而：90=19*2+4*13.

即：要使总人数为100，只需要把20*2=40个三等奖换成2个一等奖，把5*13=65个三等奖换成13个二等奖就可以了。 所以，二等奖有13个人。

【例 6】 有50位同学前往参观,乘电车前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地铁前往每人6元.

这些同学共用了车费110元,问其中乘小巴的同学有多少位？ 【解析】 由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍.

如果有30人乘电车, 110-1.2×30=74(元).

还余下50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了. 如果有40人乘电车 110-1.2×40=62(元).

还余下50-40=10(人)都乘地下铁路前往,钱还有多(62>6×10).说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间,只有35是5的整数倍. 现在又可以转化成\"鸡兔同笼\"了:

总头数 50-35=15, 总脚数 110-1.2×35=68.

因此,乘小巴前往的人数是 (6×15-68)÷(6-4)=11.

【例 7】 一些奇异的动物在草坪上聚会．有独脚兽（1个头、1只脚）、双头龙（2个头、4只脚）、三脚

猫（1个头、3只脚）和四脚蛇（1个头、4只脚）．如果草坪上的动物共有58个头、160只脚，

且四脚蛇的数量恰好是双头龙的2倍，那么其中独脚兽有几只？ 【解析】 把2个四脚蛇和1个双头龙捆绑在一起，则是4头12脚，即1头3脚，同三脚猫是一样的，所

以可以假设都是1头3脚，则有3×58=174只脚，但只有160只脚，差了174-160=14只脚，替换：14÷2=7只，故有7只独角兽。

【例 8】 学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其中铅

笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支 ？

【解析】 从条件\"铅笔数量是圆珠笔的4倍\这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成

一组,这一组的笔,每支价格算作 (0.60×4+2.7)÷5=1.02(元).

现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用\"鸡兔同笼\"公式可算出,钢笔支数是 (300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12(支). 铅笔和圆珠笔共 232-12=220(支). 其中圆珠笔 220÷(4+1)=44(支). 铅笔 220-44=176(支).

课后练习

1、有14个纸盒，其中有装1只球的，也有装2只和3只球的，这些球共有25只。装1只球的盒子数等于装2只球与3只球的盒数的和。装1、2、3只球的盒子各有多少个？

【解析】14÷2=7（个）………………………………………………1只球的盒子数量 25-7=18（只）（3×7-18）÷（3-2）=3（个）……………………2只球的盒子数量 7－3=4（个） …………………………………………………………3只球的盒子数量

2、某工厂的27位师傅共带徒弟40名，每位师傅可以带1名徒弟、2名徒弟或者3名徒弟．如果带1名徒弟的师傅人数是其他师傅的2倍．带2名徒弟的师傅有 位．

【解析】带1名徒弟的师傅人数是18，其他师傅9位，其他师傅共带徒弟40－18=22（名） 假设其他师傅都带3名徒弟，则多出3×9-22=5（名） 5÷（3－2）=5（位），即带2名徒弟的师傅有5位。

3、某人领得奖金 240元，有 2元、5元、10元三种人民币，共50张，其中2元与 5元的张数一样多，那么2元、5元、10元各有多少张？

【解析】（50×10-240）÷（10×2-2-5）=20（张）（2元、5元）

50-20×2=10（张）（10元）

4、蜘蛛有腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和一对翅膀，现在有三种昆虫16只，共有腿110只和14对翅膀，这三种昆虫各有多少只？

（1）假设三种动物都是6条腿，则总数为：6×16=96（条） （2）和实际相差儿110－96=14（条） （3）蜘蛛数：14÷（8－6）=7（只） （4）蝉、蜻蜓的只数16－7=9（只）

（5）假设9只全是蝉，总翅膀数1×9=9（对） （6）对实际少的14－9=5（对）

（7）蜻蜓只数5÷（2－1）=5（只） （8）蝉的只数9－5=4（只）

5、食品店上午卖出每千克为20元、25元、30元的3种糖果共100千克，共收入2570元．已知其中售出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？

【解析】 每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，则每千克20元的收入：25701970600元，

所以卖出：6002030千克，所以卖出每千克25元和每千克30克的糖果共1003070千克，

相当于将题目转换成：卖出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克，收入1970元，问：每千克25元的糖果售出了多少千克？转换成了最基本的鸡兔同笼问题．

关键：将三种以及更多的动物/东西，转化为两种最基本模型。即：抓住转化后的“头”与“脚”。

6、某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人？ 【解析】 对2道,3道,4道题的人共有 52-7-6=39(人).

他们共做对181-1×7-5×6=144(道).

由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人((2+3)÷2=2.5).这样 兔脚数=4,鸡脚数=2.5, 总脚数=144,总头数=39. 对4道题的有 (144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人).

7、有红、黄、绿3种颜色的卡片共有100张，其中红色卡片的两面上分别写有1和2，黄色卡片的两面上分别写着1和3，绿色卡片的两面上分别写着2和3．现在把这些卡片放在桌子上，让每张卡片写有较大数字的那面朝上，经计算，各卡片上所显示的数字之和为234．若把所有卡片正反面翻转一下，各卡片所显示的数字之和则变成123．问黄色卡片有多少张？ 【解析】 开始的时候，黄色和绿色的卡片上都是3，红色卡片上是2．如果全部是红色卡片，那么数字之

34．每增加一张黄色或绿色卡片，那么数字就会和为：2100200，比实际的少：234200增加：321．那么，黄色和绿色卡片之和：34134（张），红色卡片有：1003466（张）．

翻转过来后，红色和黄色卡片上都是1，绿色卡片上是2．红色卡片有66张，剩下的绿色和黄色卡片上的数字之和为：12316657．如果34张卡片都是黄色的，那么这34张卡片上的数字

13434，573423．之和为：比实际的少：每增加一张绿色卡片，数字之和就会增加：211，所以，绿色卡片有：23123（张），黄色卡片有：342311（张）．