高考数学客观题的解法及复习对策

珠海市三中 伟钢洪

一、选择题题型分析与解法技巧

选择题在高考数学试卷中不但题目数量多，且占分比例高，能否迅速、准确、简洁地解好选择题，是高考成败的关键。通过分析近几年的高考数学选择题，总结出选择题的如下特点：

1.选择题所覆盖的知识面很广，但大都属于基本内容的范畴，难度一般都不大。 2.解答选择题的思路主要是从教材中基本概念、基本公式、基本方法、基本法则出发或者是化归方法，只有少数选择题需要综合分析来求得正确答案。 3.选择题中容纳了前面所列举的解答高考数学题的各种解题方法，但每一道选择题的正确解答过程很简洁，没有繁难复杂的计算问题。 4.选择题在设计时十分注重基础知识的内在联系，注意易混淆的概念和常见的错误类型，在解答时必须注意与所熟悉的问题在条件细节上的差别。

5. 选择题在编排时的顺序并不体现问题的难度，而且在解答选择题时的时间不宜过长。统计分析表明：在高考中取得优秀成绩的学生在选择题上平均只用了32分钟，大量时间用于后面的解答题上。

下面举例说明解选择题常用的几种技巧。

（一）直接解法。直接法是解选择题的一种最基本的方法。因为许多选择题是由解答题改编而来的，保留着解答题的痕迹，所以可以将选择题当作解答题来处理。

例1. 函数y=sinxcosx+3cos2x-（A） π （B）2π （C）

3的最小正周期是（ ） 2 （D） 答：（A）。 42y=

11cos2x313sin2x+3-=sin2x+cos2x=sin(2x+), 2232222= 22 例2.F（x)=(1+x)f(x)(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( )

21∴最小正周期是

(A)是奇函数（B）是偶函数（C）可能是奇函数也可能是偶函数（D）不是奇函数也不

是偶函数

解：∵F（x)是偶函数，∴F(-x)=F(x)(x≠0)

F(-x)=(1+

22x22x12x22x2x1

)f(-x)=(1+)f(-x)=f(-x)=-xf(-x), 112x12x21

1

又F(x)=(1+

2)f(x),(x≠0) 2x1∴f(x)=-f(-x),故f(x)是奇函数。选（A）。

x22例3.设F1和F2是双曲线-y=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90，则

4ΔF1PF2的面积是（ ） （A）1 （B）

5 （C）2 （D）5 2解：由题意知∣F1F2∣=2c=25,∣∣PF1∣-∣PF2∣∣=4 ① ∣PF1∣+∣PF2∣=20 ② 将①式两边平方得：

22

∣PF1∣+∣PF2∣-2∣PF1∣∣PF2∣=16， 2∣PF1∣∣PF2∣=4，∣PF1∣∣PF2∣=2 ∴SΔF1PF2=

2

2

1∣PF1∣∣PF2∣=1，故选（A） 2（二）间接解法 1. 概念法.进几年客观题比较注重对概念的考查，考查考生对概念理解的深刻性、概念的联系及灵活应用概念解题的能力。

exex例1.函数y=的反函数（ ）

2（A） 是奇函数，它在（0，+∞）上是减函数； （B） 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数； （C）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数； （D）是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数。

分析：先求反函数，再判断，思路自然，但费时易错，若着眼于对概念的理解，从函数与反函数的关系入手就比较快，也合命题者的意图。

x-x

解：易知所给函数为奇函数，又y1=e与y2=-e同是（0，+）上的增函数，所以

exexexexy=是（0，+）上的增函数。因此，函数y=的反函数是奇函数且在

22（0，+）为增函数。选（C）

例2.已知直线l1和l2夹角的平分线是y=x，如果l1 的方程是ax+by+c=0(ab>0),那么l2的方程是（ ）

（A） bx+ay+c=0 (B)ax-by+c=0 (C)bx+ay-c=0 (D)bx-ay+c=0

答：（A)利用对称的概念，l1与l2关于直线y=x对称，则以x代y、以y代x方程不变。或利用互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，则l2方程中的y是l1方

2

程中y的反函数。

2. 特值特例法 一般寓于特殊之中，通过对符合条件的特殊数值或特殊例子或极端情形的考察分析，往往可以发现共性，探求结果。 例3.设a、b是满足ab<0的实数，那么（ ）

(A).∣a+b∣>∣a-b∣ (B). ∣a+b∣<∣a-b∣

(C) ∣a-b∣<∣∣a∣-∣b∣∣ (D). ∣a-b∣<∣a∣+∣b∣

解：令a=1,b=-1代入，那么选择项A、B、C、D分别是0>2、0<2、2<0、2<2,显然A、C、D是不正确的，所以选择B

2

例4.如果函数f(x)=x+bx+c对一切实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么（ ） (A)f(2)(C)f(2)2

的。考虑函数f(x)=x-4x，满足题目的条件。验证知： f(2)= -4,f(1)=-3,f(4)=0,显然（B）、（C）、（D）不成立，故（A）正确。 例5.对于定义域是R的任何奇函数，都有（ ）

（A）f(x)-f(-x)>0 (B)f(x)-f(-x)<0 (C)f(x)f(-x) 0 (D)f(x)f(-x)>0 解法一：（直接法）由题意知：f(x)=-f(-x),xR,f(0)=-f(0),得f(0)=0 .f(x)f(-x)=-[f(x)]20,故（C）正确。 解法二：（特殊值法）f(x)=x是一个定义域为R的奇函数，经验证只有（C）成立。 例6.定义在区间（-，+）的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0，+）的图象与f(x)的图象重合。设a>b>0,给出下列不等式 f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);  f(b)-f(-a)< g(a)-g(-b);

③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)∵f(1)-f(-2)=f(1)+f(2),g(2)-g(-1)=g(2)-g(1)= f(2)-f(1),又f(2)>f(1)>0,∴f(2)+f(1)>f(2)-f(1),①正确。f(2)-f(-1)=f(2)+f(1)>0,g(1)-g(-2)=g(1)-g(2)= f(1)-f(2)<0,∴③正确。故选（C）

例7.已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a的取值范围是（ ） （A）（0，1） （B）（1，2） （C）（0，2） （D）[2，+∞） 答：（B）∵f(0)>f(1),即loga2>loga(2-a),解得1（A）直线y=0 (B)直线x=0 (C)直线y=1 (D)直线x=1

答：（D）取f(x)=x,则f(x-1)=f(1-x)=(x-1),而函数 y=(x-1)的图象的对称轴是 x=1

2

2

2 3

例9.函数y=-

1的图象是（ ） x1答：（B）取x=0,则y=-1,可排除(C)、（D），取x=1,则y=-例10.如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-

1,可排除（A）. 2对称，那么a=（ ） 8（Ａ）2 （Ｂ）－2（Ｃ）１ （Ｄ）－１ 答：（D） 解法一：（直接法）y=1a2sin(2x+φ)= 1a2sin2(x+∵x=-

), 2是对称轴，∴=-，=-.又tg=a=tg(-),故a=-1.

28844解法二：（特值法）取x1=0,则f(0)=a,取x2=-,则f(-)=-1,∵f(0)=f(-),

444∴a=-1.

时，y取不到最大或8最小值。同理a=-2也不合要求。若a=1,则y=2sin(2x+),当x=-时，y=0不

48解法三：（代入验证法）若a=2,则y=3sin(2x+),当x=-是最大或最小值。只有（D）成立。

3.代入验证法. 将选项逐一代入题干检验，然后确定答案的方法。

例11 .如果直线l将圆：x+y-2x-4y=0平分，且不同过第四象限，那么l的斜率的取值范围是（ ）

（A）[0，2] （B）[0，1] （C）[0，

2

211] （D）[0，） 22答：（A）直线过圆心（1，2），当斜率k=2时，直线方程为

y-2=2(x-1),即y=2x,这条直线不过第四象限。

例12.若数列{an}的通项公式为an=-lg1536+(n-1)lg2,使其前n项和sn取得最小值的n值为（ ）

（A）10 （B）11 （C）12（D）13 答：（B）

1242n1∵an=lg9∴a10=lg<0, a11=lg<0, a12=lg>0.

33323

4

例13.若ΔABC中，acosA=bcosB,则ΔABC必定是（ ） （Ａ）等腰三角形（Ｂ）直角三角形（Ｃ）等腰直角三角形 （Ｄ）等腰三角形或直角三角形 答：（D）

若a=b,则A=B，适合等式acosA=bcosB,∴ΔABC可能是等腰三角形；若A+B=90，则cosA=sinB，cosB=sinA, ∴asinB=bsinA,由正弦定理知，A+B=90是acosA=bcosB的一个解。即ΔABC可能是直角三角形。

4.定性分析法

解选择题只讲究结论的正确，在试卷上不需要写出解题过程，为解题者留有很大的余地，对于一些计算量大的题目，不一定算到底，有时只算一部分或者估算就可以选出答案。 例14. 已知过球面上Ａ、Ｂ、Ｃ三点的截面与球心的距离等于球半径的一半，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ＝２，则球面面积是（ ）

168 （Ｂ） （Ｃ）４ （Ｄ）

399168 答：（D）∵<<４<,而４表示半径为1的球面面积.设球心为O，球

399（Ａ）

半径为R,则OA+OB>AB，即2R>2,R>1,故选（D） .

例15.（９８高考（１０）答：（B）

解法一：（选点法）选点、估算.如图（1），在函数图象上选择横坐标为

1H的点A，2通过观察可以估计A点的纵坐标应大于瓶容积的一半，即当水面的高度刚好等于水瓶高度的一半时，注水量应大于瓶容积的一半。经观察估算，不难得知，当水面高度等于水瓶高度的一半时，四个水瓶中水的体积依次为：小于瓶容积的一半、大于瓶容积的一半、约等于瓶容积的一半、等于瓶容积的一半，故只能选（B）

.解法二：（分析法）如图（2），观察图象可以发现，向水瓶注水过程中， 当水面高度增加相同时，随着水深的增加，注水量的增加量反而减少， 就是说，对于水深的两个值h1、h2(0观察水瓶直观图，不难估算，对于上面所谈的两个水面高度h1、h2,四个水瓶注水量增加量V随h1增大所产生的变化依次是：增大、减小、先减小后增大、不变。故选（B）

5

5.数形结合法

对一些条件或结论具有明显几何意义的选择题，一般不宜用代数方法去解，宜用数形结合法。从几何图形出发，利用图形特点和几何性质，经过分析推理或必要的计算去确定答案。

例16.把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转（ ） （A）

2,所得到的向量对应的复数是313131313+i (B) +i 2222(C)

13131313+i (D) +i 答：（B） 2222解：arg(1+i)=

2,将1+i 对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量落在-

3424的角形区域内。此时向量对应的复数的实部为正，虚部为负且虚部的绝对值大于实部。

选（B）。

例17.如果复数z满足∣z+i∣+∣z-i∣=2,那么∣z+i+1∣的最小值是（ ） （Ａ）１ （Ｂ）2 （Ｃ）２ （Ｄ）5 答：（A） 解：∣z+i∣+∣z-i∣=2表示复平面上连接两点A(0,-1)、B(0,1)的线段， ∣z+i+1∣表示线段AB上的点到点C（-1，-1）的距离.由右图知 ∣z+i+1∣ 的最小值是∣AC∣=1.

例18.如果实数x、y满足等式(x-2)+y=3,那么

2

2

y的最大值是 x （Ａ）

133 （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）3 答：（D） 232解：

y的最大值，就是右图中圆的切线l的斜率，易知k=3. x

二.复习及应考对策

１.选择题的命题范围广，但注意对基本概念、公式、法则、定理、方法的考核。因此，在复习和准备高考的过程中，对最基本、最简单的知识要从严要求，同时要注意概念之间的联系和细微的区别，以免落入选项预设的“陷阱”之中。

２.解答选择题应注重最直接、最基本方法的训练，同时还应该在掌握一般性解答方法的基础上，根据选择题的条件和特点，学会一些特殊的答题技巧，如特殊值法、筛选法、验证法、估算法等，这样便于提高解题速度，还可以避免一些计算和推理中的失

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误。

３.在平时复习时应记住一些有用的结论。由于选择题不要求写答题过程，在解答时可以直接引用一些已知的结论，便于提高答题速度。

４.在复习选择题的过程中，要注意训练题的难度，不要只重视难题、大题，绝大部分选择题难度都不大，一般可以用基本概念、公式、法则、方法作答或用化归的办法寻找解题思路。

５.在解选择题时，要注意答题的准确性。统计数据表明：近年高考中选择题的平均得分率理科为６９%左右，文科为５７%左右。解答选择题的准确性较差已成为数学分数低下的重要原因，在复习过程中应高度重视。 ６. 注意时间分配，提高解答选择题的速度。一般说来，应努力在３５分钟内做完选择题，不要超过５０分钟。这样才有更多的时间来处理后面的大题。为了提高解题速度，除了在基础知识、技巧方法上努力之外，平时加强一些强化、限时练习是必不可少的。

三.略谈填空题的解法

（一）在极端化原则下，赋值巧解。当题中出现某些变量或动点或几何图形的一般情形，而其结果又是定值时，可以取特殊值或特殊位置或画特殊图形来处理，从而大大简化运算过程。

例1.已知{an}是公差不为零的等差数列，如果Sn是{an}的前n项和，那么lim等于 _______________.答：2

例2. 已知等差数列{an}的公差不为零，且a1、a3、a9成等比数列，则

nnansna1a3a9a2a4a10的值是_______________.答：

13 16x2y2 例3.P为椭圆221(a>b>0)上除长轴的两端点外的点，F1、F2为焦点，A为

abΔPF1F2的内心，PA的延长线交F1F2于B，则BA：AP的值为_______________.答：c:a,

即椭圆的离心率.

例4.平行六面体各棱长为4，在交点P的各条棱上分别取A、B、C，使PA=1，PB=2，PC=3，

设棱锥P-ABC的体积为V1，平行六面体的体积为V2，那么V1：V2=_____________.答：1：

四.解填空题容易出现的失误 １.结果表示错

x2x2 例１.不等式６ <1的解集是_______________.

应用集合表示.

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13x例 例２.方程 ＝３解是_______________. x13会 错误的填法有下列几种：x=-1;{-1};{x=-1};{x∣x=-1}，x{-1}; x{x∣x=-1};x{x=-1}等。正确的答案是－１。 ２. 结果未化简。

由于高考填空题要求用正确的、最简洁的式子或文字表示结论，因此未化简计算结果也应视为一种失误。常见的失误有：分数不约简、分式不约简、分母没有有理化等。 ３.忽视了题目对结论的附加条件，如用具体数字作答、精确到„„，有些同学对此不加以重视而至误。

例3.在半径为30m的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥

形，且其轴截面顶角为120，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为________________m.(精确到0.1m).

有的考生直接把求出的103m作为结论而致误。正确的答案应为17.3m. 例4.在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共__________种.（用数字作答）.

正确答案应为4186种，而有的考生直接用式子C

231405C550-C4C46-C4C46-C4C46作答而致误。

34C

346+C

44C

146或

４. 忽视了题目对参数的条件。

例5.在（x+m)(mN）的展开式中，x的系数是x的系数与x的系数的等差中项，则m=___________.

有的考生忽视了mN的条件而致误，扩大了m 的取值范围。

５.记错公式致误。数学公式比较多，有些还有隐含条件（如万能公式），有的考生平时不注意的理解记忆，靠死记硬背，一遇到真正要用时就往往容易出问题。

６.某些知识的缺陷失误。有的考生由于缺乏某些方面的知识而导致错误，如函数定义域、单调性、一元二次函数的对称轴与区间的关系、判别式等等。

751x282x）>3的解集是________________. 31x2 有的考生往往忘记函数（）的单调性而导致x-8>2x的错误。

3例6.不等式（

五.强化练习.

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