股票最优投资组合案例研究
——基于风险结合的动态规划法
摘 要：随着经济的发展，越来越多的投资者开始将闲置资金投入证券市场，如何科学地在可接受的风险水平下获取收益成为投资者特别是中小投资者亟待解决的问题，由于中小投资者资金投入有限，将有限的投资额有效地分配到不同的股票以降低风险显得尤为重要。可以考虑将标准离差率等作为筛选指标引入动态规划方法，以动态规划思想为基础，结合风险对不同投资额下的组合方案进行逆序最优选择，该计算过程中各步骤的产出均为该种投资水平下的最优投资组合，投资者可以根据自己的风险承受水平选择不同的组合，以实现可接受风险水平下的收益最大化。
关键词：动态规划；投资组合；标准离差率；风险
一、引言
随着经济与证券市场的发展，越来越多的人开始将视线转到资本市场，希望借此获取额外的收入，在众多的金融产品中，股票的优势显而易见，它以相对较低的门槛与风险备受普通投资者的青睐。然而如何在股票市场中以较低的风险获取较大的收益，却是一直以来困扰投资者的难题，多数投资者都清楚地知道投资组合可以有效降低风险，并且组合中个股的数目越多，其风险分散程度越大，但是对于普通的投资者来而言，投资于包含十几种股票的组合是不现实的，因此，如何在有限的投资额下实现高收益、低风险成为中小投资者亟待解决的问题。基于此，本文创造性地提出了针对中小投资者的投资组合分配模型，该模型以动态规划思想为基础，结合风险对不同投资额下的组合方案进行逆序最优选择，并且计算过程中各步骤的产出均为该种投资水平下的最优投资组合，投资者可以根据自己的风险承受水平选择不同的组合，以实现可接受风险水平下的收益最大化。
二、文献评述
资产组合理论是研究在不确定情况下，投资者如何将资金分配于不同资产上，以寻求整体风险与收益之间的最优均衡关系的方法。20世纪50年代以前，该理论仅停留于文字论述或借助俗语表达阶段，直至1952年，马克维茨通过引入数学方法首次提出投资分散化原则，才使投资决策走向定量分析的科学研究阶段，标志着现代资产组合理论的诞生。
马克维茨（1952）提出了资产组合的均值—方差模型，用数学期望表示资产收益率，用方差量化资产风险，由于投资效用是收益率和方差的函数，理性的投资者总是追求特定风险下最大收益、特定收益下最小风险的投资组合，最终使其风险和收益达到平衡，实现投资组合的效用最大化。夏普（1963）提出了单指数模型，该模型不但继承了马克维茨均值—方差模型的思想，而且简化了运算，使资产组合理论的实践性更强。夏普模型的关键在于将组合中每种资产面临的风险分为系统风险和公司特有风险两类，系统风险的存在，说明宏观经济变化导致证券市场的波动会对每种资产的收益产生影响，而公司特有风险则是源于公司特有的不确定性。指数模型在现代资产组合理论中的应用主要表现为资本资产定价模型（CAPM）以及套利定价理论（APT），每种类型的转变，都使得理论研究进一步贴近实际，进而更好
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地指导实践。我国学者对投资组合理论在我国市场的应用做了很多研究检验，主要是从某些侧面来研究检验马克维茨的均值—方差理论、CAPM和ATP等理论，相关的实证研究相对较少，例如，施东辉（1996）通过实证分析，发现系统性风险与预期收益呈现出一种互相关关系，非系统性风险对股票收益有重要的影响；陈小悦、孙爱军（2000）对CAPM在中国股市的有效性进行了检验，结果表明系统性风险系数对中国股市的平均收益不具有解释力；刘晓敏、胡晓华（2005）对2000年1月至2004年12月沪深B股市场各支股票的收盘价分析得出，分散投资并不改变收益，但可以降低风险；胡元木、白峰（2009）提出运用动态规划模型将资金在投资组合的各支股票间进行合理分配，从而获得最大收益。
本文主要基于胡元木、白峰提出的动态规划法对投资组合进行分析，原有研究中动态规划法的运用建立在比较理想的条件之下，主要表现在不同投资额下单支股票的收益直接给出，且不呈线性变动关系，不符合收益计算结果的规律，关于该数据如何取得文中仅用“市场调查及专家预测”形容，不具有说服力。基于原有研究的缺陷，本文将风险及标准离差率引入动态规划模型，利用风险相关指标等作为附加筛选指标，分层次逆序选择组合最优解，使动态规划模型更具科学与实用性。
三、投资组合案例分析
（一）股票及数据选取
1、股票选取
为缩小可控范围，股票的选取主要着眼于沪深A股市场。首先依托同花顺股票分析软件中的股票筛选器功能，通过对相关股票指标、利润率、增长、估价、财务比率等的限定，分行业筛选出业绩优良的股票；继而结合相关证券评级、主力资金流入方向等，筛选出具有交集的股票；最后，出于风险考虑，剔除处于同一行业的股票，最终选定宇通客车（600066汽车制造）、奥飞动漫（002292传播与文化产业）、开元投资（000516零售业）作为投资组合的基础股票。
2、单项资产收益率及风险计算 考虑到证券市场的瞬息万变，如果以年或月为单位计算股票收益率，时间范围未免过长，数据难免存在滞后性，且不能准确反映股票的真实收益率，为更细致地反映股票的收益情况，本文选取周作为基础衡量单位，进而对个股的平均周回报率及风险进行测算。相关基础数据主要来源于国泰安经济金融实证研究数据库，具体计算结果如表1所示。
表1 个股的收益及风险
周平均收益率12 方差σ2i 标准差σ 开元投资 -0.054% 0.00157 0.03965 宇通客车 0.252% 0.00172 0.04152 奥飞动漫 0.512% 0.00397 0.06303 表2 协方差及相关系数
宇通客车 奥飞动漫 开元投资 开元投资 0.00064 0.00146 0.00157 宇通客车 0.00172 0.00136 0.00064 奥飞动漫 0.00136 0.00397 0.00146 1 2
周平均收益率计算期间为2010年第48周至2011年第48周，共52个周 周平均收益率选取的是“不考虑现金红利再投资的周个股回报率”
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宇通客车和奥飞动漫的相关系数 宇通客车和开元投资的相关系数 奥飞动漫和开元投资的相关系数 0.52159 0.39108 0.58515
由表2可知，三支股票的两两相关系数均为0~+1之间的数值，说明个股的收益结果变化方向相同，但并不是完全相同，两者之间只存在一般性的正相关关系。根据资产组合理论，只要各资产之间的相关系数ρ不等于+1，资产组合的收益标准差或风险总是小于单个资产收益标准差或风险的加权平均。换言之，只要两种资产之间不存在完全的正相关关系，其资产组合的风险总是会减少的，而风险减少的程度，主要取决于资产收益之间的相关程度。 （二）组合权重设计
在权重的选择上，本文采用风险结合的动态规划法，即以动态规划法为基础思路，在选择各步骤收益最优解时，将风险方差纳入考虑，通过计算标准离差率，选取各投资额下标准离差率最小值小的最大收益，作为整个组合的最优解。具体计算中，主要按照两个步骤进行，首先，将宇通客车和奥飞动漫作为小的投资组合（以下称小组合），分别测算在不同投资额下的风险结合最优解，此步最优解选择主要根据标准离差率及最小标准离差率下的最大收益；第二，根据步骤一的测算结果，将开元投资纳入，测算开元投资和小组合在总投资额下的最优解，此步最优解选择主要根据投资者的风险承受程度。
1、动态规划基本思想
动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法，20世纪50年代初由美国数学家贝尔曼等人提出。动态规划的基本原理是“最优化原理”(principle of optimality)，即一个最优方案具有这样的性质，无论初始状态和初始方案如何，相对于初始方案产生的状态来说，其后的方案必定构成最优子方案。动态规划把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，继而利用各阶段之间的关系，逐个求解，最终最后一个子问题所得到的最优解就是整个问题的最优解。
2、运用动态规划求解投资比例 假设总投资额为4万，并且需要全部分配到宇通客车、奥飞动漫和开元投资的构成投资组合中。根据周平均收益率，按照复利原则，计算得到各支股票28天所获得的收益与投资额之间的关系，如表3所示。
表3 收益与投资额 单位：元
收 投 资 0 10000 20000 30000 40000 28天收益率 益 项 目 开元投资u1（000516） 0 -22 -43 -65 -87 -0.217% 宇通客车u2（600066） 0 101 202 303 404 1.011% 奥飞动漫u3（002292） 0 207 413 620 826 2.065%
根据动态规划方法，引入相关参数如下： （1）S——投资总额，此例中为4万元；
（2）n——投资组合中的项目数，此例中为3；
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（3）uk——决策变量，分配给第k个项目的投资额；
（4）Sk——状态变量，分配给第k个至第n个项目的投资额； （5）gk(uk)——阶段目标函数，对第k个项目投资uk所获得收益； （6）fk(Sk)——将S分配给第k个至第n个所获得的最大收益； （7）Sk+1=Sk-uk——状态转移方程。
由此，得到逆序DP（动态规划）方程：
fk(Sk) = max {gk(uk)+ fk+1(Sk+1)} fn+1(Sn+1) = 0
利用上述递推关系，求得f1(S1)时最大收益的组合，即为所有分配方案中的最优解。 由上表知：S=40000元3，n=3，u1 u2 u3分别代表对开元投资、宇通客车和奥飞动漫的投资额。
步骤一：
①k=3时，将S3投资于第3支股票——奥飞动漫。此时f3(S3) = max {g3(u3)+ f4(S4)}= max {g3(u3)+ 0}=max {g3(u3)}= g3(u3) 0≤u3≤S3
S3=0时，f3(0)=0，u3 =0，σ2= 0.00397； S3=1时，f3(1)= 207，u3 =1，σ2= 0.00397； S3=2时，f3(2)= 413，u3 =2，σ2= 0.00397； S3=3时，f3(3)= 620，u3 =3，σ2= 0.00397； S3=4时，f3(4)= 826，u3 =4，σ2= 0.00397；
②k=2时，将S2投资于第2和第3支股票，即宇通客车和奥飞动漫，使分配给这两支股票的投资额所获得的收益最大。由于计算所用不同投资额下的收益为根据平均收益率计算所得，因而同一股票不同投资额下的收益呈现线性关系，以致单纯使用动态规划方法无法得出最优解，考虑到动态规划法的局限，本文创造性地引入了风险方差及标准离差率作为衡量选择最优解的指标，通过选择各投资额下各种组合中最小离差率下的最大收益，得出各投资额下的最优解，即各投资额下小组合的最优解。具体操作方法如表4和表5所示。
根据动态规划思想，此时，f2(S2) = max {g2(u2)+ f3(S3)} 0≤u2≤S2
表4 各投资额下小组合的收益与风险计量
总投资额S2 0 1 宇通客车 u2 0 0 101 0 2 101 202 0 3 101 202 3为计算简洁，所有步骤中
奥飞动漫 u3 0 207 0 413 202 0 620 413 207 小组合收益 小组合风险f2(S2) 0 207 101 413 303 202 620 514 409 σ2 0 0.00397 0.00172 0.00397 0.00211 0.00172 0.00397 0.00256 0.00181 小组合标准离差率 0 0.00030 0.00041 0.00015 0.00015 0.00021 0.00010 0.00010 0.00010 标准离差率最优解 0 0.00030 0.00015 0.00010 S数值用万元作为计量单位，即S=（0,1,2,3,4）
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303 0 101 4 202 303 404 0 826 620 413 207 0 303 826 721 615 510 404 0.00172 0.00397 0.00285 0.00211 0.00173 0.00172 0.00014 0.00008 0.00007 0.00007 0.00008 0.00010 0.00007 (其中：小组合收益f2(S2)为RPW1R1W2R2；小组合标准离差率为σ/ f2(S2)； 小组合风险σ2为p22W1212W2222W1W212；)
表4中，首先分别对各投资额下的组合进行小组合收益及小组合风险方差计算，再分别
计算出各种组合的标准离差率，进而选择出各投资额下的最小标准离差率，以此作为第一次最优筛选条件；在得出各投资额下的最优离差率以后，反推回小组合收益，选择最优离差率对应的组合作为该投资额下的最优组合，如果对应多个组合，则选择小组合收益最大的组合作为最优，具体结果如表5所示。
表5 最优标准离差率下的最优组合
总投资额 S2 0 1 2 3 4 宇通客车 u2 0 0 0 0 1 奥飞动漫 u3 0 1 2 3 3 小组合最大收益 f2(S2) 0 207 413 620 721 小组合风险 σ2 0 0.00397 0.00397 0.00397 0.00285
步骤二：
在得到各投资额下的最优小组合以后，进一步将最优小组合（u2，u3）与第一支股票开元投资结合，寻找三项资产组合下的最优解。此时，k=1，将S1分配到开元投资、宇通客车、奥飞动漫三支股票中，由于步骤一中已经对后两支股票作了最优组合，因而此步骤中只需考量开元投资与小组合的收益与风险关系，具体数据如表6所示，由于总投资额4万元最终需要全部投入，此步骤中仅计算S1=4时的数据。根据动态规划思想，f1(S1) = max {g1(u1)+ f2(S2)} 0≤u2≤S1
表6 大组合收益及风险
总投资额 S1 开元投资 u1 0 -22 4 -43 -65 -87
（其中：大组合收益根据开元投资和步骤二中计算的投资额为4万元时最优小组合的收益计算得出；大组合风险采用p
22W1212W2222W1W212，其中开元投资和小组合的协方差根据观测期内
小组合 u 721 620 413 207 0 大组合收益 f1(S1) 721 598 370 142 -87 大组合风险 σ2 0.00285 0.00218 0.00174 0.00154 0.00157 5
开元投资的收益率数据以及按照最优小组合比例（1:3）追溯调整计算的小组合收益率计算得出，其数值为0.00126。）
大组合收益80060040020000.001-2000.002370142-870.0025987210.0030.003组合风险方差
图1 大组合风险收益趋势图
值得注意的是，第三只股票的收益率和风险均低于其他两支，它的引入主要是为了降低
组合风险，这种降低必定会减少整个组合的收益，由表6数据亦可以看出，随着开元投资比例的增大，大组合的收益和风险均呈现下降趋势。对于投资者而言，如果想要选择最大的收益，只需选择最优小组合即可，如果想要降低组合风险，则可根据自己的风险承受水平，对表6中的数据进行选择。 （三）组合评价
案例研究中的组合具有一定的投资可行性，并且有较强的使用灵活性，主要表现在以下几个方面。首先，组合中所选三支股票分属汽车制造、文化传播、零售三大行业，并且相关系数均为0~+1之间，一定程度上可以通过组合降低整体风险；其次，组合权重设计中，依据动态规划的思想，结合标准离差率作为筛选指标，更为具体地考量收益和风险的关系，逆序选出的投资组合最优解更具科学性；第三，步骤一的结果可直接作为投资依据，此时投资组合中仅包含宇通客车和奥飞动漫两支股票，并且不同投资额下的最优组合结构均有列示；最后，为降低组合风险，引入收益与风险均偏低的开元证券，投资者可根据风险承受水平，选择适合的投资比例。
四、结论与展望
在案例设计与研究过程中，本文创造性地将标准离差率作为筛选指标引入动态规划方法，在求解各投资额下最优组合时，首先选取各投资额下标准离差率最小的投资组合，继而在备选组合中选择收益最大的组合，作为该投资额下的最优解；接下来的步骤中，再根据上步得出的最优组合（小组合），计算小组合与另外单支股票的协方差及大组合风险与收益，以此类推，最终可以得出不同风险水平下的最优解，投资者可根据自己的风险承受水平选择适合的投资组合。采用动态规划思路求解最优组合最大的优势在于，其计算过程中各步骤的产出均为该种投资水平下的最优投资组合。关于如何使投资结构更为合理与稳健，例如将核心及卫星级资产纳入动态规划体系，以及如何科学地选取组合中的基础股票，需要我们进一步的探索和研究。
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参考文献：
[1]邓丽．证券投资组合设计探析[J]．经营管理者,2010，(10). [2]李惟进．证券投资组合理论综述[J]．改革与开放,2010，(06).
[3]甄伟丽,何琪．股票投资组合案例分析[J]．当代经理人,2006，(21).
[4]陈泽奎．相关资产组合理论在中国证券市场的实证研究[J]．市场周刊（理论研究）,2009，(05).
[5]胡元木,白峰．动态规划模型在股票投资组合中的应用[J]．山东社会科学,2009，(09).
[6]姚小剑．基于指数模型的现代资产组合理论评述[J]．西安石油大学学报,2010，(02). [7]张玉明．财务金融学[M]．上海：复旦大学出版社,2005．
[8]辛格尔顿．基金组合投资管理——核心+卫星式基金管理新视角[M]．北京：中国人民大学出版社,2007．
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