人教版高中数学必修一期中备考第2单元 一元二次函数、方程与不等式(强化篇)(解析版)

第2单元 一元二次函数、方程与不等式（强化篇）

基础知识讲解

一．不等式定理 【基础知识】

①对任意的a,b,有a＞b①a﹣b＞0;a＝b①a﹣b＝0;a＜b①a﹣b＜0,这三条性质是做差比较法的依据．

①如果a＞b,那么b＜a;如果a＜b,那么b＞a．

①如果a＞b,且b＞c,那么a＞c;如果a＞b,那么a+c＞b+c． 推论:如果a＞b,且c＞d,那么a+c＞b+d．

①如果a＞b,且c＞0,那么ac＞bc;如果c＜0,那么ac＜bc． 二．不等式大小比较 【技巧方法】

不等式大小比较的常用方法

（1）作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）; （3）详细分析法; （4）平方法;

（5）分子（或分母）有理化; （6）利用函数的单调性;

（7）寻找中间量或放缩法;

（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法． 三．基本不等式 【基础知识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为:两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为:或者a+b≥2

．常常用于求最值和值域．

≥

（a≥0,b≥0）,变形为ab≤（

）2

四、基本不等式的应用 【基础知识】 1、求最值

2、利用基本不等式证明不等式 3、基本不等式与恒成立问题 4、均值定理在比较大小中的应用 【技巧方法】 技巧一:凑项

需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值． 技巧二:凑系数

遇到无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值． 技巧三:分离 技巧四:换元

一般,令t＝x+1,化简原式在分离求最值．

技巧五:结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六:整体代换

多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错． 技巧七:取平方

两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造条件．

总结我们利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用基本不等式． 五．二次函数的性质 【基础知识】

二次函数相对于一次函数而言,顾名思义就知道它的次数为二次,且仅有一个自变量,因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为:y＝ax2+bx+c（a≠0） 【技巧方法】

①开口、对称轴、最值与x轴交点个数,当a＞0（＜0）时,图象开口向上（向下）;对称轴x＝bb;最值为:f（）;判别式①＝b2﹣4ac,当①＝0时,函数与x轴只有一个交点;①＞02a2a时,与x轴有两个交点;当①＜0时无交点．

①根与系数的关系．若①≥0,且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根,则有x1+x2＝b, ax1•x2＝

c; a①二次函数其实也就是抛物线,所以x2＝2py的焦点为（0,抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．

pp）,准线方程为y＝,含义为22

①平移:当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时,函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c; 六．一元二次不等式 【基础知识】

含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式． 【技巧方法】

（1） 当①＝b2﹣4ac＞0时,

一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根,那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2） （2） 当①＝b2﹣4ac＝0时,

一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根,那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2． （3） 当①＝b2﹣4ac＜0时．

一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根,那么ax2+bx+c与x轴没有交点． 二.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）．

步骤:正化,求根,标轴,穿线（偶重根打结）,定解． 特例:

①一元一次不等式ax＞b解的讨论;

①一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论． （2）分式不等式的解法:先移项通分标准化,． （3）无理不等式:转化为有理不等式求解． （4）指数不等式:转化为代数不等式

（5）对数不等式:转化为代数不等式 （6）含绝对值不等式

①应用分类讨论思想去绝对值; ①应用数形思想; ①应用化归思想等价转化． 七．一元二次方程根与系数的关系 【基础知识】

一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达,即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时,不妨设它的解为x1,x2,那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系:x1+x2＝﹣

bc,x1•x2＝． aa习题演练

一．选择题（共12小题）

221． 关于x的不等式x2ax8a0(a0)的解集为(x1,x2),且:x2x115,则a=（ ）

A．

5 2B．

7 2C．

15 4D．

15 2【正确答案】A 【详细解析】

因为关于x的不等式x2ax8a0(a0)的解集为(x1,x2),

222所以x1x22a,x1x28a,又x2x115,

所以(x2x1)(x2x1)4x2x136a15,

2222解得a52,因为a0,所以a52.

故选:A.

2．已知a,b为非零实数,且ab,则下列命题成立的是（ ）

A．a2b2

B．ba1

C．lgab0

【正确答案】D 【详细解析】

A不正确,如a1,b1,显然a2b2不成立,

B不正确,如a1,b2时,显然

ba1不成立, C不正确,如a2,b1时,显然lgab0不成立.

①函数y1x在定义域R上是个减函数, 2ab①1212.所以D选项正确. 故选:D

3．若ab0,则下列不等式中一定成立的是（ ） A．a11bb1bba B．

aa1 C．a11bba D．

2aba2bab

【正确答案】A 【详细解析】

abD．1212

取a2，b=1排除B与D; ，1)上的增函数,当ab0时,f(a)f(b)必定成立, 即是(0，x1111abab,所以A正确

abba 函数f(x)x 函数g(x)x1)上递增,当ab0时, g(a)g(b)不一1]上递减,在[1，在(0，x定成立,所以C不成立 故选:A

4．两个正实数a,b满足3a,的取值范围是（ ） A．4,3 【正确答案】C 【详细解析】

两个正实数a,b满足3a,

B．2,6

C．6,2

D．3,4

1312,b成等差数列,则不等式m4m恒成立时实数m2ab解:

1,b成等差数列, 213ab,123ab,ab1112． ,12ab不等式1a33abm24m恒成立,即m24m恒成立, bab即

1m24m恒成立． abm24m12,求得6m2,

故选:C．

5．设a0,b0,2ab1,则

21的最小值为（ ） abC．4

D．9

A．22 B．3

【正确答案】D 【详细解析】 ①,2ab1． 所以

21212b2a()(2ab)55249 ababab当且仅当

2b2a1即ab时取等号, ab3①

21的最小值为9． ab6．已知0x1,则

12的最小值为（ ）. 2x1xB．

A．9

9 2C．5 D．

5 2【正确答案】B 【详细解析】

111x122522x. 22x1xx1x2x1x0x1,x0且1x0,

111x2x1x2x, 22≥22x1xx1x1111x1x2x取得最小值2. 2x,即x时,2当且仅当23x1xx1x1259的最小值为2. 2x1x22故选B.

7．若x0,y0,x2y1,则

xy的最大值为（ ）

2xy1 9A．

1 4B．

1 5C．D．

1 12【正确答案】C 【详细解析】

xyxx21x, x2y1y22xy3x1设3x+1txt1(1t4) 3t25t45t41原式()2

9t999t9819当

11t41t2即x,y时有最大值为

3399t9故正确答案选C

2a212b248．已知正实数a,b满足ab1,则的最小值为（ ） abA．10 【正确答案】B 【详细解析】

解:正实数a,b满足ab1,

B．11

C．13

D．21

2a212b2414则2a2b,

abab

142ab

ab7b4ab4a727411, abab2a212b24即:11,

ab当且仅当

21b4a且ab1,即b,a时取等号, ab332a212b24所以的最小值为11. ab故选:B.

9． 关于x的不等式xa1xa0的解集中恰有两个整数,则实数a的取值范围是（ ）

2A． 2,13,4 B．2,13,4 D． 2,13,4

13,4 C． 2,【正确答案】C 【详细解析】

不等式xa1xa0,即x1xa0,若a1,不等式解集为a,1;若a1,不

2等式解集为1,a,要保证恰含有两个整数,则2a1或3a4,所以正确选项为C． 10．已知0（ax）2的解集中的整数恰有3个,则（ ） A．－1B．0C．1D．3【详细解析】

22由(xb)(ax),整理可得（1－a2）x2－2bx+b2>0,由于该不等式的解集中的整数恰有3

个,则有1－a2<0,此时a2>1,而01,

222由不等式(a1)x2bxb<0解得

2b2ab2b2abbbx,x1要使该不等式的解集中的整数恰有3即

2(a21)2(a21)a1a11abbbb<－2,由<－2得－b<－2（a－1）,则有a<+1,即a<+1<+1,a1a1222b解得a<3,由－3<得3a－3>b>0,解得a>1,则1a1个,那么－3<

11．若存在正实数y,使得

xy1,则实数x的最大值为（ ） yx5x4y5 4C．1

D．4

A．

1 5B．

【正确答案】A

【详细解析】

①

xy1, yx5x4y①4xy2+（5x2﹣1）y+x＝0, ①y1•y21＞0, 45x21①y1+y20,

4x5x2105x210①,或,

x＜0x＞0①0＜x555或x5①, ①＝（5x2﹣1）2﹣16x2≥0, ①5x2﹣1≥4x或5x2﹣1≤﹣4x, 解得:﹣1≤x15①, 综上x的取值范围是:0＜x15; x的最大值是15, 故选:A．

12．若a、b、c均大于0,且2abc6,则aabcbc的最大值为（A．

34 B．3

C．

32 D．2

【正确答案】C 【详细解析】 解:

a、b、c均大于0,

aabcbca2abacbc

a2acabbcaacbac 2abacabac2

222abc632 22

）

当且仅当abac6时取“=”, 2aabcbc的最大值为

故选:C

二．填空题（共6小题）

3. 213．已知正数a，b满足:ab1910,则ab的最小值是_____________． ab【正确答案】2. 【详细解析】

因为ab19ab9ab210,所以ab10ab, abab2所以ab10b9ab9a210ab,所以1010abab, abab2所以10abab102b9a16,取等号时b3a, ab所以ab2ab80,所以2ab8,

1a2当ab2时,符合条件,所以abmin2.

3b2故正确答案为:2. 14对于实数x,y,若【正确答案】5

,

,则

的最大值为 .

【详细解析】

此题,看似很难,但其实不难,首先解出x的范围,合解出x-2y+1的范围

,那么绝对值最大,就去5

,再解出y的范围,

,最后综

15．设a,b,c是三个正实数,且ab2c【正确答案】3 【详细解析】 因为ab2cbc39a,则的最大值为______. a3bcbc, aa2ab所以c,b2a0,

b2a39a3bc所以

39a3939ba2ab3bab13bab2a3ba, b2aab2a令

bx2,所以 afx3x1x333x2723x2713, x2x2x23,即x3时,取等号, x2当且仅当3x2所以

39a393 3bc13所以

39a的最大值为3 3bc故正确答案为:3

222a1b216．已知正实数a,b满足2ab1,则的最小值是______. ab2

【正确答案】

5 3【详细解析】

由正实数a,b满足2ab1,所以2ab23,

2a21b221(b2)24(b2)2 则2aab2ab22ab2121241 ab2ab2112[2a(b2)]()1 3ab21b24a(4)1 3ab21b24a5(42)1, 3ab23当且仅当

51b24a且2ab3,即a,b时等号成立, ab24252a21b22即的最小值是. 3ab2故正确答案为:

5. 317．设a,b0,ab5,则a1+b+3的最大值为 ________．

【正确答案】32 【详细解析】

由2aba2b2两边同时加上a2b2

得(ab)2(ab)两边同时开方即得:ab2222(a2b2)（a0,b0且当且仅当

ab时取“=”）,

从而有a1+b+32(a1b3)2932（当且仅当a1b3,即

73a,b时,“=”成立）

22故填:

.

【名师点睛】

本题考查应用基本不等式求最值,先将基本不等式2aba2b2转化为

ab2(a2b2)（a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于

中档题,注意等号成立的条件.

18．已知实数x,y满足x0,y0,且xy135,则3xy的最小值为________． 3xy【正确答案】3 【详细解析】

因为xy133xy135, 3xy3xy（3xy)2y9x（3xy)2（3xy)2=662912, 所以5(3xy）3xy33当且仅当y3x6或3时,取等号. 2（3xy)15（3xy)360, 上式可化为

2（3xy)12, 解得3所以3xy的最小值为3.

故正确答案为:3

三．详细解析题（共6小题）

19．已知f(x)|ax3|,不等式f(x)6的解集是{x|1x3}． （1）求a的值; （2）若

f(x)f(x)k存在实数解,求实数k的取值范围．

3【正确答案】（1）a3;（2）2, 【详细解析】 解:（1）由|ax3|6, 得6ax36, 即3ax9,

当a0时,xR,不合题意, 当a0时,39x, aa31a, 则93a解得a3,符合题意, 当a0时,

93x, aa91a,无解, 则33a

综上,a3; （2）因为

f(x)f(x)|3x3||3x3||x1||x1|33|x1(x1)|2,

要使

f(x)f(x)k存在实数解,只需k2,

3实数k的取值范围为(2,)．

20．已知x,yR,且xy1．

（1）求证:x3y223; 411|a2||a1|恒成立,求a的取值范围． xy（2）当xy0时,不等式

【正确答案】（1）见证明;（2）[,]. 【详细解析】

3522121解:（1）由柯西不等式得x2(3y)212()1x3y． 33①x3y22243(xy)2,当且仅当x3y时取等号． 3; 4①x3y22（2）

1111yxyx(xy)2224, xyxyxyxy11|a2||a1|恒成立,即可转化为|a2||a1|4, xy要使得不等式

当a2时,2a1≤4,可得2a5, 2当1a2时,34,可得1a2,

当a1时,2a14,可得3a1, 2①a的取值范围为:[,]． 21．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|． （1）求不等式f（x）≤5的解集;

（2）若存在实数x0,使得f（x0）≤5+m﹣m2成立的m的最大值为M,且实数a,b满足a3+b3＝M,证明:0＜a+b≤2．

3522【正确答案】( 1) 3,1;( 2)证明见详细解析. 2【详细解析】

( 1) 解:fx2x1152x15,则xx1, 222由绝对值的几何意义可得x33和x1时使得等号成立,所以fx5解集为,1 22( 2)证明:由绝对值的几何意义已知fx2x1x1的最小值为3, 2所以35mm2,解得1m2,所以M2,所以a3b32,

213因为2ababaabb,aabbabb20,

24332222ab所以ab0,由ab42得,

1232aba2abb2abab3abab,

4则ab2,综上所述,0ab2.

22．设函数f(x)ax2(b2)x3(a0),

（1）若不等式fx0的解集为1,3,求2ab的值;

（2）若f(1)4,b1,求

a1的最小值． ab1（3）若ba3, 求不等式fx4x2的解集.

【正确答案】（1）2;（2）

3;（3）分类讨论,详见详细解析. 4【详细解析】

（1）由不等式fx0的解集为1,3可得:方程axb2x30的两根为1,3且

2a0,

由根与系数的关系可得:a1,b4, 所以2ab2

（2）由已知得f14,ab14,则

aaaab11ab1ab1aa21, ab14ab14a4ab14a4ab14aaa151（当且仅当a,b时等号成立）; ,所以当a0时,

aab1433aa131,所以（当且仅当a4,b7时等号成立）; aab14当a0时,

a13所以的最小值为; ab14

2（3）由f(x)4x2得axb2x34x2,

2又因为ba3, 所以不等式f(x)4x2化为ax(a1)x10,即

x1ax10,

当a0时,

1111,原不等式(x)(x1)0x或x1.

aaa1a1与1的大小关系决a若a0,原不等式(x)(x1)0.此时原不等式的解的情况应由定,故

（1）当a1时,不等式(x)(x1)0的解集为;

1a（2）当a1时,

1111,不等式(x)(x1)0x1;

aaa（3）当0a1时,

1111,不等式(x)(x1)0 1x.

aaa综上所述,不等式的解集为:

①当a0时,xx1或x1; a1; a①当0a1时,x1x①当a1时,;

①当a1时,x1x1. a故得解.

23．已知函数𝑦=𝑎𝑥2−(2𝑎+1)𝑥+𝑎+1． ( 1)若𝑎=2,解不等式𝑦≥0;

( 2)若对于𝑎∈[−2,2],函数值𝑦<0恒成立,求实数𝑥的取值范围. 【正确答案】( 1){𝑥|𝑥≤1或𝑥≥2};( 2){𝑥|1<𝑥<2}. 【详细解析】

( 1)𝑎=2,则𝑦≥0,即2𝑥2−5𝑥+3≥0⇒(2𝑥−3)(𝑥−1)≥0,对应抛物线开口向上,不等式解集为“两根之外（含两根）”,所以𝑦≥0的解集为{𝑥|𝑥≤1或𝑥≥2};

( 2)𝑎∈[−2,2],𝑎𝑥2−(2𝑎+1)𝑥+𝑎+1<0恒成立,将左边代数式整理成关于𝑎的式子, 即(𝑥2−2𝑥+1)𝑎+(−𝑥+1)<0,

则左边是关于𝑎的一次函数,记作𝑡=(𝑥2−2𝑥+1)𝑎+(−𝑥+1),

题意变为对𝑎∈[−2,2],函数𝑡=(𝑥2−2𝑥+1)𝑎+(−𝑥+1)的函数值𝑡<0恒成立

由于一次函数图象为一条直线,要使函数值𝑡<0恒成立,则𝑎=−2和𝑎=2时都有函数值𝑡<−2(𝑥−2𝑥+1)+(−𝑥+1)<0 −2𝑥+3𝑥−1<0 ,解得{𝑥<2或𝑥>1 ,得1<,0,得{{化简32(𝑥2−2𝑥+1)+(−𝑥+1)<02𝑥2−5𝑥+3<01<𝑥<

2

2

2

1

3

3

3

𝑥<2,所以实数𝑥的取值范围{𝑥|1<𝑥<2}. 24．已知函数fxxmx4．

233

( 1)求函数在区间1,2上的最大值ymax;

( 2)当x1,2时,y0恒成立,求实数m的取值范围.

【正确答案】( 1)当m3时,ymax82m;当m3时,ymax5m ;( 2) m5. 【详细解析】

( 1)函数yx2mx4的图象开口向上,对称轴为x在区间1,2上的最大值,分两种情况:

m, 2

①m3（m3）时,根据图象知,当x2时,函数取得最大值ymax82m; 22m3（m3）时,当x1时,函数取得最大值ymax5m. 22①所以,当m3时,ymax82m;当m3时,ymax5m.

x1,2，y0恒成立,只需在区间1,2上的最大值ymax0即可,所以 ( 2) m4,所以实数m的取值范围是m5. m5

f(1)0,得

f(2)0