2020中考数学专题3——几何模型之定边对定角-含答案

2020 中考专题 3——几何模型之定边对定角

班级

【模型讲解】

姓名

.

∠P 保持不变，∠P 所对的边长为 d 保持不变，则∠P 的顶点 P 的轨迹为圆弧.（简称：定边对定角）

【例题分析】

例 1.在正方形 ABCD 中，AD＝2，E，F 分别为边 DC，CB 上的点，且始终保持 DE＝CF，连接 AE 和 DF 交于点 P，则线段 CP 的最小值为 .

例 2.如图，在边长为2 3 的等边△ABC 中，点 E 为 AC 上一点，AE=CD，连接 BE、AD 相交于点 P， 则 CP 的最小值为

。

例 3.如图，△ABC 中，AC＝3，BC＝ 4 2 ，∠ACB＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接

圆，直线 BD 交⊙O 于 P 点，交 BC 于 E 点，弧 AE＝CP，则 AD 的最小值为（ A．1

）

B．2 C． 2 D． 41  4 2

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【巩固训练】

1. 如图 1，O 的半径为 2，弦 AB=2，点 P 为优弧 AB 上一动点，AC⊥AP 交直线 PB 于点 C，则△ABC

的最大面积是

.

图 1 图 2 图 3

2. 如图 2，半径为 2cm，圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上有一运动的点 P 从点 P 向半径 OA 引垂线 PH 交 OA 于点 H，设△OPH 的内心为 I，当点 P 在弧 AB 上从点 A 运动到点 B 时，内心 I 所经过的路径长为

.

3. 如图 3,以 G(0,1)为圆心,半径为 2 的圆与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C、D 两点,点 E 为 OG 上

一动点,CF⊥AE 于 F,当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为 .

4. 如图 4,以正方形 ABCD 的边 BC 为一边向内部做一等腰△BCE，CE=CB，过 E 做 EH⊥BC，点 P

是△BEC 的内心，连接 AP，若 AB=2，则 AP 的最小值为

.

图 4 图 5 图 6 5. 如图 5,Rt△ABC 中,AB⊥BC,AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC,则线段 CP 长的最小值为 .

6. 如图 6，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=10，BC=12，点 D 为线段 BC 上一动点.以 CD 为⊙O 直径，

作 AD 交⊙O 于点 E，连 BE，则 BE 的最小值为 .

7. 如图 7,在等腰 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,BC= 4 2 ,点 D 是 AC 边上一动点,连接 BD，以 AD

为直径的圆交 BD 于点 E,则线段 CE 长度的最小值为 .

图 7

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8. 等腰直角△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 为线段 AC 上一动点，连接 BD，过点 C 作 CH⊥BD

于 H，连接 AH，则 AH 的最小值为 .

图 8 图 9 图 10 9. 如图 9，直线 y=x+4 分别与 x 轴、y 轴相交与点 M、N,边长为 2 的正方形 OABC 一个顶点 O,在坐标系的原点,直线 AN 与 MC 相交与点 P,若正方形绕着点 O 旋转一周,则点 P 到点（0,2）长度的最小值是 .

10. 如图 10，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 的坐标为（7,3），点 E 在边

AB 上，且 AE=1，已知点 P 为 y 轴上一动点，连接 EP，过点 O 作直线 EP 的垂线段，垂足为点 H，

25

在点 P 从点 F（0, ）运动到原点 O 的过程中，点 H 的运动路径长为 .

4

11. 如图 11，AB 是⊙O 的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P 是上一动点，D 是 AP 的中点，连接 CD，则 CD

的最小值为

图 11

12. 如图 12，已知△ABC 是边长为 4 的等边三角形，取 AC 的中点Ｅ，△ABC 绕 E 点旋转任意角度得

到△GMN，直线 BN、GC 相交于点Ｈ．求△GMN 绕点 E 旋转时过程中，线段 AH 的最大值是 ．

图 12

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2020 中考专题 3——几何模型之定边对定角 参

例 1【解析】解：如图，在△ADE 和△DCF 中，

 AD  DC ADE  DCF DE  CF 

∴△ADE2△DCF（SAS） ∴∠DAE＝∠CDF

∵∠DAE＋∠AED＝90°

∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠DPE＝∠APD＝90° .∠APD＝90°保持不变

∴点 P 的轨迹为以 AD 为直径的一段弧上

5 ∴取 AD 中点 Q，连接 CQ，与该圆弧交点即为点 P，此时 CP 值最小在 Rt△CQD 中，CQ＝

∴CP＝CQ－PQ＝ 5 －1

例 2.解析：

可证△AEB≅△CDA ∴∠ABE=∠CAD ∵∠CAD+∠BAD=60° ∴∠ABE+∠BAD=60°即∠BPB=60° ∵ AB 为定边，∠APB=120°为定角

∴P 在以 AB 为弦且圆心角为 120°的圆弧上运动。可得： CP 的最小值=CO-R=4-2=2

例 3.解：∵∠CDP＝∠ACB＝45° ∴∠BDC＝135°（定弦定角最值） 如图，当 AD 过 O′时，AD 有最小值 ∵∠BDC＝135° ∴∠BO′C＝90° ∴△BO′C 为等腰直角三角形

∴∠ACO′＝45°＋45°＝90° ∴AO′＝5 又 O′B＝O′C＝4 ∴AD＝5－4＝1

【巩固训练】答案

1. 答案： 3 2. 答案： 3. 答案：

2 cm 2 33

4. 答案： 10 2

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5. 答案：2 6. 答案：8

7. 答案： 2 5 - 2

8. 答案： 2 5 - 2

9. 答案： 2 2 - 2 10. 答案： 5 24

11.解：连接 OD

∵D 为弦 AP 的中点，∴OD⊥AP ∴点 D 在以 AO 为直径的圆上运动当 CD 过圆心 O′时，CD 有最小值过点 C 作 CM⊥AB 于 M ∵OB＝OC，∠ABC＝60° ∴△OBC 为等边三角形

∴OM＝ 1 ，CM＝ 3 ∴O′C＝ 7

2 2

2

∴CD 的最小值为

7 1 2  2

12. 2 3  2

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